Докажите, что для произвольных множеств A, В и С справедливо равенство

Чтобы доказать равенство, необходимо доказать, что левая и правая части равенства равны друг другу для всех возможных значений множеств A, B и C.

Начнем с левой части равенства. Она представляет собой объединение множеств A и (пересечение множеств B и C):

A ∪ (B ∩ C)

Для начала давайте посмотрим на направление операций: сначала выполняется пересечение множеств B и C, а затем объединение с множеством A.

Пусть x - произвольный элемент, принадлежащий левой части равенства (A ∪ (B ∩ C)). Это означает, что x принадлежит множеству A или x принадлежит одновременно множеству B и C.

Теперь пойдем пошагово и рассмотрим все возможные случаи:

1. Пусть x принадлежит множеству A. В этом случае, x принадлежит левой части равенства (A ∪ (B ∩ C)), так как x принадлежит множеству A.

2. Пусть x принадлежит множеству B и C. В этом случае, x принадлежит как множеству B, так и множеству C. Следовательно, x также будет принадлежать пересечению множеств B и C. И поскольку x принадлежит пересечению множеств B и C, x также принадлежит левой части равенства (A ∪ (B ∩ C)).

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них x принадлежит левой части равенства (A ∪ (B ∩ C)). Следовательно, мы получили, что левая часть равенства содержится в правой части.

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Она представляет собой пересечение множеств A и (объединение множеств B и C):

A ∩ (B ∪ C)

Снова посмотрим на направление операций: сначала выполняется объединение множеств B и C, а затем пересечение с множеством A.

Пусть y - произвольный элемент, принадлежащий правой части равенства (A ∩ (B ∪ C)). Это означает, что y принадлежит как множеству A, так и объединению множеств B и C.

Давайте рассмотрим все возможные случаи:

1. Пусть y принадлежит множеству A. В этом случае, y принадлежит как множеству A, так и правой части равенства (A ∩ (B ∪ C)), так как y принадлежит множеству A.

2. Пусть y принадлежит объединению множеств B и C. Это означает, что y принадлежит множеству B или y принадлежит множеству C. В любом из этих случаев, y принадлежит как множеству B, так и правой части равенства (A ∩ (B ∪ C)).

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них y принадлежит правой части равенства (A ∩ (B ∪ C)). Следовательно, мы получили, что правая часть равенства содержится в левой части.

Таким образом, мы доказали, что левая и правая части равенства равны друг другу для всех возможных значений множеств A, B и C.