Докажите, что 2222 в степени 5555 + 5555 в степени 2222 будет делится на 7.

Так как 2222=317*7+3,
5555=793*7+4

то число 2222 в степени 5555 дает тот же остаток при делении на 7, что и число 3 в степени 5555,
число 3 в степени 5555 дает такой же остаток как и число 3 в степени 4=81, т.е. остаток 4 (81=11*7+4)

5555=793*7+4, то число 5555 в степени 2222 дает такой же остаток при делении на 7 как и число 4 в степени 2222,
число 4 в степени 2222 дает такой же остаток при делении на 7 как и число 4 в степени 3=64, т.е. дает остаток 3 (64=9*7+3),

а значит данное число дает такой же остаток как и число 3+4=7 , т..е дает остаток 0, а значит данное число делится на 7 нацело. Доказано

2222^5555+5555^2222=2222^5555+(7777-2222)^2222 
Остаток будет в числе 2222^5555+2222^2222=(317*7+3)^5555+(317*7+3)^2222 
Остаток будет в числе 3^5555+3^2222=(728+1)^925 *3^5+(728+1)^370 *3^2 
Остаток будет в числе 3^5+3^2=252 
252/7=36. Остатка нет. 
Значит 2222 в степени 5555 + 5555 в степени 2222 будет делится на 7.