Доказать равенство для невырожденной матрицы А произвольного порядка

Для доказательства данного равенства нам потребуется использовать следующие свойства матриц:

1. Транспонирование (обозначается знаком T): транспонированная матрица получается из исходной матрицы путем замены строк на столбцы.
2. Умножение матриц (обозначается знаком *): результатом умножения матрицы А на матрицу В является матрица С, где каждый элемент с индексами [i, j] определяется как сумма произведений элементов i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В.
3. Обратная матрица: для невырожденной матрицы А существует обратная матрица A^(-1), такая что A * A^(-1) = A^(-1) * A = E, где E - единичная матрица.

Теперь приступим к доказательству равенства.

Данное равенство можно переписать в виде:

(A * A^(-1))^T = (A^(-1))^T * A^T.

Так как мы знаем, что A * A^(-1) = A^(-1) * A = E, то:

(A * A^(-1))^T = E^T = E.

Также, обратная матрица симметрична относительно транспонирования, то есть:

(A^(-1))^T = (A^T)^(-1).

Таким образом, мы получаем:

(A * A^(-1))^T = (A^(-1))^T * A^T = (A^T)^(-1) * A^T.

Из полученного равенства следует, что:

(A * A^(-1))^T = (A^T)^(-1) * A^T = E.

Таким образом, мы доказали равенство для невырожденной матрицы А произвольного порядка.