Доказать что сумма квадратов n первых натуральных чисел равна n*(n+1)(2n+1)/6

Конечно, я готов выступить в роли школьного учителя и объяснить доказательство данного выражения.

Давайте начнем с разбора понятий и определений для уточнения терминологии. Квадрат числа n обозначается как n^2, где n является натуральным числом.

В нашем случае нам нужно доказать, что сумма квадратов первых n натуральных чисел равна выражению n*(n+1)*(2n+1)/6. Давайте посмотрим, как можно доказать это равенство.

Шаг 1: Записываем сумму квадратов первых n натуральных чисел.
Сумма квадратов n чисел можно записать как 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2.

Шаг 2: Переписываем сумму в другой форме.
Давайте перепишем сумму в виде (1^2 + n^2) + (2^2 + (n-1)^2) + (3^2 + (n-2)^2) + ... + ((n-1)^2 + 2^2) + (n^2 + 1^2).

Шаг 3: Упрощаем равенство.
Заметим, что каждая пара в скобках равна n^2 + 1^2 (или n^2 + (n - 1)^2, и так далее). Поэтому сумма может быть упрощена до n * (n^2 + 1^2).

Шаг 4: Раскрываем скобку n^2 + 1^2.
Раскроем скобку и получим n * (n^2 + 1), что равно n * n^2 + n * 1.

Шаг 5: Упрощаем равенство.
Раскроем еще одну скобку и получим n^3 + n. Это может быть дальше записано как n * (n^2 + 1) или n * (n * n + 1).

Шаг 6: Раскрываем скобку n * (n * n + 1).
Раскрываем скобку и получаем n^3 + n^2.

Шаг 7: Факторизуем n^3 + n^2.
Мы можем факторизовать n^3 + n^2, вынеся из них общий множитель n^2. Таким образом, получаем n^2 * (n + 1).

Шаг 8: Упрощаем равенство.
Упростим полученное равенство и получим n * (n + 1) * n^2 = n * (n + 1) * (2n + 1).

Шаг 9: Делим на 6.
Осталось только поделить обе части равенства на 6. После деления получаем n * (n + 1) * (2n + 1)/6.

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов первых n натуральных чисел равна выражению n * (n + 1) * (2n + 1)/6.

Надеюсь, это доказательство понятно и доходчиво объясняет ответ на данный вопрос. Если возникнут еще вопросы, я готов помочь.