доказать, что решением sin x = a при |a| 1 решений нет.

Синус — это ордината точки на числовой окружности. Так как эта окружность имеет радиус 1, то область значений синуса — от -1 до 1.

|a| > 1 ⇔ a < -1 или a > 1. При данных a sin x равняется некоторому числу, выходящему за пределы области значений синуса. Значит, не существует такого x, при котором достигалось бы значение a в заданном промежутке.

Пошаговое объяснение: рис. прилагаю во вложении.

Лучше всего на графике увидеть то, что надо доказывать. у=а, я их обозначил зеленым и оранжевым цветом. все, что зеленым , пересекается или касается синусоиды, т.е. есть общие точки у графиков у= sin x = a  и прямой у=a, и общих точек с оранжевыми прямыми вы не видите. т.к. их нет. поэтому нет и решений. Видите. где расположены оранжевые прямые? Выше у=1 и ниже у=-1, а это и есть решение неравенства |a|> 1