Доказать,что при любом х многочлены х^5+4х^3+3x и x^4 +3x^2+ 1 не имеют общих делителей отличных от единицы

Х^5+4х^3+3x=x*(x^4+4x^2+3)
Достаточно доказать, что многочлены x^4+4x^2+3 и x^4 +3x^2+ 1 не имеют общих делителей. Если они имеют общий делитель, то и их разность имеет тот же делитель (раскладывается на множители, содержащие общий  делитель. или равна этому делителю).
Разность равна
 x^2+2
Этот многочлен на множители не раскладывается ( с действительными коэффициентами). Достаточно проверить, что ни один из многочленов на  x^2+2 не делится.На само деле достаточно проверить, что хотя бы один из них на  x^2+2 не делится. Например второй.
В самом деле: x^4 +3x^2+ 1=(x^2+2)*( x^2+1)-1, т.е. при делении дает остаток -1. Значит у многочленов нет общих делителей, кроме тривиального, равного 1.