Доказать, что функция является непрерывной f(x)=x+9

Чтобы доказать, что функция f(x) = x + 9 является непрерывной, нам нужно выполнить три условия:

1. Функция f(x) должна существовать для всех значений x в рассматриваемом интервале.
2. Функция f(x) должна быть определена на всем интервале.
3. Предел функции f(x) должен быть равен значению функции f(x) на каждой точке интервала.

Давайте рассмотрим каждое из условий по очереди:

1. Функция f(x) = x + 9 является прямой линией, которая существует на всех значениях x в области определения. Таким образом, первое условие выполняется.

2. Функция f(x) = x + 9 определена на всем интервале действительных чисел, т.е. f(x) существует для любого x из области определения. Это так, потому что мы можем подставить любое действительное число вместо x и получить результат. Таким образом, второе условие также выполняется.

3. Чтобы проверить третье условие, нам нужно убедиться, что предел функции f(x) равен значению функции f(x) на каждой точке интервала. Так как функция f(x) = x + 9 является прямой линией, то её предел будет равен значению функции на каждой точке интервала.

Для дальнейшего доказательства непрерывности функции f(x) = x + 9, давайте рассмотрим предел функции при приближении x к любому значению в выбранном интервале.

Пусть a - любое число из области определения функции f(x), и пусть есть последовательность чисел {x_n}, приближающаяся к a. То есть, x_n стремится к a при n стремящемся к бесконечности.

Теперь рассмотрим предел функции f(x) при x стремящемся к a:

lim(x->a) f(x) = lim(x->a) (x + 9)

Так как x_n стремится к a, то мы можем заменить x на a в пределе:

= lim(x->a) (a + 9)

Получаем:

= a + 9

Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к a всегда равен a + 9.

Также заметим, что для любого x из области определения функции, f(x) = x + 9.

Так как предел функции f(x) равен значению функции на каждой точке интервала, f(x) = x + 9 является непрерывной функцией.

Таким образом, доказано, что функция f(x) = x + 9 является непрерывной на всем интервале действительных чисел.