Доказать что функция f(x)=-4x^3-2x+5 убывает на всей числовой оси

Чтобы доказать, что функция f(x) = -4x^3 - 2x + 5 убывает на всей числовой оси, мы должны показать, что при увеличении значения x, значение функции f(x) уменьшается.

Для этого мы можем вычислить производную функции f(x). Если производная функции f(x) отрицательна для всех значений x, то это означает, что функция убывает.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x)
Для нашей функции f(x) = -4x^3 - 2x + 5, мы сначала возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и затем сложим результаты:
f'(x) = -4*(3x^2) - 2*(1) + 0
f'(x) = -12x^2 - 2

Шаг 2: Анализируем знак производной
Мы знаем, что функция убывает, если производная отрицательна для всех значений x. Таким образом, мы хотим найти значения x, для которых f'(x) < 0.

Мы можем решить неравенство -12x^2 - 2 < 0, чтобы найти интервалы, на которых производная отрицательна.

Шаг 3: Решение неравенства
-12x^2 - 2 < 0
Для начала, давайте выведем 2 из неравенства:
-12x^2 < 2
Чтобы избавиться от отрицательного коэффициента, мы умножим обе части неравенства на -1 и поменяем знак:
12x^2 > -2
Теперь разделим обе части неравенства на 12:
x^2 > -2/12
x^2 > -1/6

Мы знаем, что x^2 - положительное число или ноль для любого значения x, кроме случая, когда x = 0. Таким образом, все значения x удовлетворяют неравенству x^2 > -1/6.

Шаг 4: Вывод
Мы доказали, что производная функции f(x) = -12x^2 - 2 отрицательна для всех значений x, кроме x = 0. Это значит, что функция f(x) убывает на всей числовой оси, за исключением x = 0.

Таким образом, мы доказали, что функция f(x) = -4x^3 - 2x + 5 убывает на всей числовой оси.