Доказать что для произвольных чисел a b c d справедливо неравенство

1/a+2/b+8/c+16/d больше или равно 64/(a+b+c+d)

Решение :

Должно быть a>0, b>0, c>0, d>0, а так же 1/a+1/b+4/c+16/d≥64/(a+b+c+d)

Пошаговое объяснение:

1/a+2/b+8/c+16/d≥64/(a+b+c+d)⇔(a+b+c+d)(1/a+2/b+8/c+16/d)≥64

Докажем последнее неравенство используя неравенство Коши-Буняковского

(a₁²+a₂²+a₃²+...+aₓ²)(b₁²+b₂²+b₃²+...+bₓ²)≥(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+...+aₓbₓ)²

(a+b+c+d)(1/a+2/b+8/c+16/d)=

=((√a)²+(√b)²+(√c)²+(√d)²)((1/√a)²+(√(2/b))²+(√(8/c))²+(√(16/d))²)≥

(√a·1/√a+√b·√2/b+√c√(8/c)+(√d√(16/d))²=(√1+√2+√8+√16)=(5+3√2)²>

>(5+3√1,96)²=(5+3·1,4)²=9,2²=84,64⇒(a+b+c+d)(1/a+2/b+8/c+16/d)>64

Доказано, что (a+b+c+d)(1/a+2/b+8/c+16/d)>64⇒

⇒1/a+2/b+8/c+16/d>64/(a+b+c+d)