Доказать, чт
о произведение трех неотрицательных чисел, имеющих
заданную сумму, будет наибольшим тогда и только тогда, когда все эти числа
равны друг другу. Справедливо ли это утверждение для
n
сомножителей?

Добрый день! Рад принять роль школьного учителя и помочь разобраться с вашим вопросом.

Утверждение, которое вы привели, гласит, что произведение трех неотрицательных чисел, которые имеют заданную сумму, будет наибольшим только в том случае, если все эти числа равны друг другу. Вы хотите узнать, верно ли это утверждение для любого количества сомножителей.

Для начала рассмотрим ситуацию с тремя сомножителями. Пусть у нас есть три неотрицательных числа a, b и c, которые имеют заданную сумму. Тогда мы можем записать это уравнение следующим образом: a + b + c = сумма.

Для доказательства утверждения нам нужно рассмотреть две ситуации: когда все числа равны друг другу и когда они различаются.

1) Предположим, что все три числа равны друг другу, т.е. a = b = c = x, где x - неотрицательное число. Тогда сумма этих чисел будет равна 3x. Если мы подставим это в уравнение a + b + c = сумма, получим: 3x = сумма. Таким образом, произведение трех чисел будет равно x^3.

2) Если числа различаются, пусть a будет самым большим числом, т.е. a > b > c. Тогда сумма этих чисел будет равна a + b + c = сумма. Чтобы продолжить доказательство, нам понадобится использовать неравенство квадратов: (a + b + c)^2 > a^2 + b^2 + c^2. Если мы раскроем скобки в левой части, получим: a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc > a^2 + b^2 + c^2. После сокращения, получаем: 2ab + 2ac + 2bc > 0. Таким образом, произведение трех различных чисел будет меньше, чем произведение трех равных чисел.

Итак, получается, что произведение трех неотрицательных чисел, имеющих заданную сумму, будет наибольшим только в том случае, когда все эти числа равны друг другу. Для другого количества сомножителей мы можем провести аналогичное рассуждение.

Ответ: утверждение верно для любого количества сомножителей - произведение трех неотрицательных чисел, имеющих заданную сумму, будет наибольшим только в том случае, когда все эти числа равны друг другу.