Добрый день решить систему уровнений :
dx/dt=t/y
dy/dt= - t/x

Добрый день! Разберем систему уравнений post-primary.mathdb.org.

Итак, у нас дана система уравнений:
dx/dt = t/y,
dy/dt = -t/x.

Для начала давайте воспользуемся методом разделения переменных. Мы хотим выразить dx и dy через соответствующие переменные и провести параллель между левой и правой частями уравнений.

Преобразуем первое уравнение:
dx/dt = t/y.

Перемножаем обе части уравнения на y:
y * dx/dt = t.

Теперь дифференцируем обе части уравнения по t, для этого нам понадобится правило дифференцирования произведения функций:
d(y * dx)/dt = dt.

Производная произведения функций равна сумме произведений частных производных:
dx/dt * y + x * dy/dt = dt.

Теперь заменим dx/dt и dy/dt на выражения из исходной системы уравнений:
t/y * y + x * (-t/x) = dt.

Упростим:
t + (-t) = dt.

Теперь выполним интегрирование с обеих сторон уравнения:
∫(t - t) dt = ∫dt.

Получаем:
0 = t + C1.

C1 - произвольная постоянная интегрирования. Заметим, что мы не получили никакой новой информации из этого уравнения, так как получили равенство нулю.

Теперь рассмотрим второе уравнение:
dy/dt = -t/x.

Перемножим обе части на x:
x * dy/dt = -t.

Дифференцируем обе части по t, используя правило дифференцирования произведения функций:
dx * dy/dt + x * d(dy)/dt = -dt.

Теперь заменим dy/dt и d(dy)/dt на выражения из исходной системы уравнений:
dx * (-t/x) + x * (-t/x^2) = -dt.

Упростим:
(-t)dx/x + (-t)dx/x^2 = -dt.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:
∫(-t)dx/x + ∫(-t)dx/x^2 = ∫-dt.

Получаем:
-ln|x| - t/x + C2 = -t + C3.

C2 и C3 - произвольные постоянные интегрирования. Объединим произвольные постоянные в одну C.

-ln|x| - t/x + C = -t.

Теперь, чтобы найти решение системы уравнений, рассмотрим уравнение -t = -ln|x| - t/x + C.

Сгруппируем все переменные, связанные с t, на одной стороне уравнения, а все переменные, связанные с x, на другой стороне:
-ln|x| - t + t = C + t/x.

Теперь упростим:
-ln|x| = C + t/x.

Мы получили уравнение -ln|x| = C + t/x, которое связывает x и t.

Для получения окончательного решения системы уравнений, нам нужно иметь еще одно уравнение, связывающее x и t. Без этого мы не сможем найти конкретное решение.

Итак, давайте выполним подстановку новой переменной: u = ln|x|.

Тогда у нас получится новое уравнение: -u = C + t/e^u.

Сейчас полученное уравнение связывает u и t. Однако, если мы хотим найти конкретное решение системы уравнений, нам нужно установить связь между x и t, а не между u и t.

Помните, что мы ввели новую переменную u = ln|x|. Таким образом, мы должны найти u, а затем найти соответствующее x.

Решим новое уравнение для u.

-u = C + t/e^u.

Перенесем все переменные, связанные с u, на одну сторону уравнения:
u + t/e^u = -C.

Теперь упростим:
u + e^(-u)t = -C.

Мы получили уравнение, в котором присутствуют u и t. Теперь мы можем решить его методами численного анализа или приближенными методами, чтобы найти значение u. Затем мы сможем найти соответствующее значение x, так как мы уже установили связь между x и u (u = ln|x|).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять процесс решения системы уравнений. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.