1. Математика
  2. Добрый день доказать с математической

Добрый день доказать с математической индукции . (n+1)(n+2)...(n+n)=2^{n} *1*3*5*...*(2n-1)

katyafedorenko1 katyafedorenko1    2   12.09.2021 01:29    0

Ответы
диана2458 диана2458  12.09.2021 01:30

Сначала докажем формулу без индукции. Левая часть

(n+1)(n+2)\ldots (n+n)=\frac{(2n)!}{n!}

Правая часть

2^n\cdot (2n-1)}=\frac{2^n\cdot (2n)!}{2^n\cdot n!}=\frac{(2n)!}{n!}.

Замечание. n!=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1; (2n)=2n\cdot (2n-2)\cdot\ldots\cdot 4\cdot 2

(2n-1)=(2n-1)\cdot (2n-2)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 1.

Теперь по индукции. При n=1 формула верна: (1+1)=2 ·1; 2=2. Пусть при некотором n (n+1)(n+2)\ldots (n+n)=2^n\cdot 1\cdot 3\cdot (2n-1); докажем, что

((n+1)+1)((n+1)+2)\ldots ((n+1)+(n+1))=2^{n+1}\cdot 1\cdot 3\cdot \ldots\cdot (2(n+1)-1),

то есть (n+2)(n+3)\ldots 2n\cdot (2n+1)\cdot(2n+2)=2^{n+1}\cdot 1\cdot 3\cdot\ldots (2n-1)\cdot (2n+1).

Преобразуем левую часть:

\frac{((n+1)(n+2)\ldots 2n)\cdot (2n+1)\cdot (2n+2)}{n+1}=\frac{2^n\cdot (2n-1).

Формула доказана.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
hhhhh7777 hhhhh7777  08.04.2020 12:37
3 0 6Пишу: первый множитель - 102, под единицами записываювторой множитель - 3.Умножаю единицы: 2 : 3 = 6, пишу 6 под единицами.Умножаю десятки: 0 : 3 = 0, пишу о под десятками.Умножаю...
nikbayy nikbayy  08.04.2020 12:37
Из точки А к плоскости α проведены перпендикуляр АО и наклонные АВ и АС, длина перпендикуляра 8 см, а наклонные образуют с плоскостью углы в 30˚ и 45˚ .Найти расстояние между...
nodiramahammadz nodiramahammadz  08.04.2020 12:37
решить -2х3 5х(-7) -6х(-4) 9х(-8) -5х4...
hihok hihok  08.04.2020 12:38
Раскрой скобки и у выражение...
dlimfam dlimfam  08.04.2020 12:38
Какое число нужно написать в числителе, чтобы равенство стало верным? 8/36=9/...
Кирито7449 Кирито7449  08.04.2020 12:38
Найдите объём и медиану числового ряда...
dimar3256 dimar3256  08.04.2020 12:38
52*30+y=800+319 ×-1537:23=103695...
tank243188 tank243188  08.04.2020 12:38
Перший доданок 65, другий- добуток чисел 8 і 7. Ділене 40 ,дільник - різниця чисел 32 і 27 Різниця добутку чисел 8 і 9 частки чисел 45 і 5....
anablack1 anablack1  08.04.2020 12:38
В таблице задания номер 1,2,3,определить вершины.Номер 4,5,6 найти координаты точки C.Найти длины АВ,ВС...
УмНяша01 УмНяша01  08.04.2020 12:39
Решите уравнение с параметрами1)2)3)4)​...

Популярные вопросы