Для участия в команде тренер отбирает 7 мальчиков из 12. Сколькими он может сформировать команду, если 3 определенных мальчика должны войти в команду?

Для решения данной задачи нам потребуется использовать комбинаторику и принципы подсчета.

Итак, для формирования команды тренеру нужно выбрать 7 мальчиков из 12. Однако, из этих 12 мальчиков уже определено, что 3 должны обязательно войти в команду. Значит, тренеру остается выбрать 4 мальчиков из оставшихся 9.

Для решения этой задачи можно использовать формулу комбинаторики - сочетания. Формула сочетания сочетаний выглядит следующим образом:

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

где C(n, k) - число сочетаний из n по k, n! - факториал числа n, k! - факториал числа k, (n-k)! - факториал числа (n-k).

Теперь подставим значения в формулу. В нашем случае n = 9 (количество оставшихся мальчиков) и k = 4 (количество мальчиков, которых нужно выбрать).

C(9, 4) = 9! / (4!(9-4)!)

Рассчитаем факториалы:

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362,880

Подставим значения в формулу и произведем вычисления:

C(9, 4) = 362,880 / (24 * 120)
C(9, 4) = 362,880 / 2,880
C(9, 4) = 126

Таким образом, тренер может сформировать команду из 7 мальчиков, выбрав 4 мальчиков из оставшихся 9. Ответ: 126 команд.