Для функции Z= f(x; у) найти:
а) полный дифференциал;
б) градиент функции Zв точке М (Xo;Yo);
в) производную функции z = f (x; у) в точке М (хо; Уo) по M направлению вектора а = {ax;ay}.

Для решения данной задачи необходимо использовать основные понятия дифференциального исчисления, такие как полный дифференциал функции, градиент и производную по направлению.

а) Полный дифференциал функции Z = f(x, y) определяется следующим образом:

dZ = (∂Z/∂x)dx + (∂Z/∂y)dy,

где (∂Z/∂x) и (∂Z/∂y) - частные производные функции Z по переменным x и y соответственно, dx и dy - бесконечно малые приращения переменных x и y.

б) Градиент функции Z в точке М (Xo, Yo) определяется следующим образом:

grad Z = (∂Z/∂x)i + (∂Z/∂y)j,

где (∂Z/∂x) и (∂Z/∂y) - частные производные функции Z по переменным x и y соответственно, i и j - единичные векторы координатных осей.

в) Производная функции Z = f(x, y) в точке М (хо, Уо) по M направлению вектора а = {ax,ay} определяется формулой:

dZ/dM = (∂Z/∂x)(ax/∂x) + (∂Z/∂y)(ay/∂y),

где (∂Z/∂x) и (∂Z/∂y) - частные производные функции Z по переменным x и y соответственно, (ax/∂x) и (ay/∂y) - проекции вектора а = {ax,ay} на соответствующие производные.

Теперь разберемся с конкретной задачей:

В данной задаче нам дана функция Z = f(x, y), а также изображен ее график на рисунке. Обратимся к рисунку для более удобного определения значений переменных x и y в точке М (Xo, Yo) и проекций вектора а = {ax,ay}.

Для нахождения полного дифференциала функции Z (пункт а) необходимо вычислить частные производные по переменным x и y и подставить их значения в формулу полного дифференциала:

dZ = (∂Z/∂x)dx + (∂Z/∂y)dy.

Без конкретных численных значений функции Z и переменных x, y невозможно дать точный ответ на этот пункт. Необходимо использовать изображенный график функции для приближенного определения значений изменений dx и dy.

Для нахождения градиента функции Z в точке М (Xo, Yo) (пункт б) необходимо вычислить частные производные по переменным x и y и записать их значения в виде вектора:

grad Z = (∂Z/∂x)i + (∂Z/∂y)j.

Аналогично предыдущему пункту, без конкретных значений функции Z и переменных x, y невозможно дать точный ответ на этот пункт. Необходимо использовать изображенный график функции для приближенного определения значений частных производных и построения вектора градиента.

Для нахождения производной функции Z = f(x, y) в точке М (хо, Уо) по M направлению вектора а = {ax,ay} (пункт в) необходимо вычислить частные производные по переменным x и y, а также проекции вектора а = {ax,ay} на соответствующие производные и подставить их значения в формулу производной:

dZ/dM = (∂Z/∂x)(ax/∂x) + (∂Z/∂y)(ay/∂y).

Аналогично предыдущим пунктам, без конкретных значений функции Z и переменных x, y невозможно дать точный ответ на этот пункт. Необходимо использовать изображенный график функции для приближенного определения значений частных производных и проекций вектора а на эти производные.

Итак, чтобы решить данную задачу, необходимо использовать график функции Z = f(x, y) и приближенно определить значения dx, dy, частных производных и проекций вектора а. Затем подставить эти значения в соответствующие формулы для нахождения полного дифференциала, градиента и производной по направлению. В конечном итоге, получим численные значения ответов на каждый пункт задачи.