Для функції у = -х2 + 4х-3 знайдіть: а) область значень; б) проміжки зростання; в) нулі функції; г) проміжки, в яких у> 0.

а) Область значений функции указывает, какие значения может принимать функция у. Чтобы найти область значений данной функции у = -х2 + 4х - 3, нужно определить максимальное или минимальное значение функции. Обратите внимание на коеффициент перед квадратичным членом (-1 в данном случае). Так как у коэффициента отрицательный знак, то график функции ветвится вниз. Значит, функция у может принимать все значения, кроме тех, которые находятся ниже вершины параболы.

Чтобы найти вершину параболы по формуле у = ах2 + bx + с, мы можем использовать формулу x = -b / (2a) для определения точки симметрии параболы. В нашем случае а = -1, b = 4, с = -3. Вставим эти значения в формулу и найдем x:

x = -4 / (2*(-1)) = -4 / (-2) = 2

Теперь, чтобы найти значение функции у при x = 2, вставим x = 2 обратно в исходную функцию:

у = -2^2 + 4*2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 1). Значит, область значений функции y = -х^2 + 4х - 3 - это все значения у от -∞ до 1 (исключая 1).

б) Промежутки возрастания функции - это интервалы или отрезки, на которых функция возрастает. Помните, что для нахождения промежутков возрастания, нам нужно найти точки, где первая производная функции положительна.

Для нашей функции y = -х^2 + 4х - 3, найдем ее первую производную.

y' = -2х + 4

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения х:

-2х + 4 = 0
-2х = -4
х = 2

Если взять произвольное значение х < 2, например, х = 1, и поставить его в первую производную, мы получим:

-2*1 + 4 = 2

Таким образом, при х < 2 производная положительна, что означает, что функция возрастает на промежутке (-∞, 2).

в) Нули функции - это значения х, при которых функция y принимает значение 0. Чтобы найти нули функции y = -х^2 + 4х - 3, нужно решить уравнение -х^2 + 4х - 3 = 0.

Мы можем попытаться разложить это уравнение на множители, но оно не с факторизуем без дополнительных шагов. Вместо этого, воспользуемся квадратным трехчленом, используя формулу дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

В нашем случае, a = -1, b = 4, c = -3. Подставим значения:

D = 4^2 - 4*(-1)*(-3)
D = 16 - 12
D = 4

Так как дискриминант D больше нуля, у нас есть два различных действительных корня.

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

x1 = ( -4 + √4) / (2*(-1)) = (-4 + 2) / -2 = 2 / -2 = -1
x2 = ( -4 - √4) / (2*(-1)) = (-4 - 2) / -2 = -6 / -2 = 3

Таким образом, нули функции y = -х^2 + 4х - 3 это х = -1 и х = 3.

г) Промежутки, на которых функция y>0, могут быть определены путем анализа знаков функции в разных интервалах. Для этого нужно знать нули функции и ее поведение в точках между этими нулями.

В нашем случае, мы уже вычислили нули функции в предыдущем пункте: х = -1 и х = 3.

Выберем значения между этими нулями, например, х = 0. Подставим это значение в исходную функцию:

y = -(0)^2 + 4(0) - 3
y = 0 + 0 - 3
y = -3

Заметим, что при х = 0, у < 0. Это означает, что функция y = -х^2 + 4х - 3 отрицательна на интервале (-1, 3).

Теперь возьмем, например, х = 4 и подставим это значение в исходную функцию:

y = -(4)^2 + 4(4) - 3
y = -16 + 16 - 3
y = -3

Здесь также у < 0. Значит, функция отрицательна на интервале (3, ∞).

Итак, промежутки, на которых функция y > 0, это интервалы (-∞, -1) и (3, ∞).