Для действительных a < b доказать неравенство:

Пусть . Тогда: , , возвращаясь к неравенству и сокращая на , получаем: .

Рассмотрим две непрерывные одинаково выпуклые функции. Они могут пересекаться не более чем в одной точке. Действительно, пусть таких точек хотя бы две. Соединим соседние, тогда эта хорда для одной функции располагается над графиком, а для другой — под графиком. Значит, функции разной выпуклости. Следовательно, точек пересечения не более одной.

Легко проверить, что функции, стоящие в обеих частях являются выпуклыми вниз (достаточно дважды продифференцировать или просто раскрыть скобки, разбив функцию на элементарные составляющие).

Графики функции пересекаются в точке , значит, для они больше нигде не пересекаются. Например, при неравенство выполнено, стало быть, оно будет выполнено и для остальных положительных .