Для 7 класса Бэтмену с шифром, Найтвинг столкнулся с такой задачей: перед ним сумма +1+3+9+27+81+243+729, из которой можно вычёркивать любые слагаемые и изменять некоторые знаки перед оставшимися числами с «+» на «-». Для того, чтобы скачать первую папку с компьютера Лютора, ему нужно таким сначала получить выражение, значение которого равно 1, чтобы вторую — начав сначала, получить 2 и так далее. До какого наибольшего целого числа ему удастся сделать это без пропусков?

1093

Пошаговое объяснение:

Решение.

1) Число 1 можно получить, если вычеркнуть все остальные слагаемые, кроме 1

2) Получить 2 можно, если оставить только два первых числа и поменять  знак у 1 на минус:

−1 + 3 = 2

3)  сложив 1 и 3 с одинаковыми знаками, получим

 1 + 3 = 4.

Т.о, получили без пропусков числа от 1 до 4 (1, 2, 3,4)

4) Теперь добавим  число 9 (остальные вычеркнуты)

Для того чтобы получить 5, надо из 9 вычесть 4. Число 4 мы уже получили, оно равно:  1+3=4. значит, следующий шаг

9 - 1 - 3 = 5

5)  Аналогично

9 - 3 = 6, т.е. зачеркиваем 1, оставляем только 9 и (-3)

9 - 2 = 7 (чтобы получить -2 надо взять +1 и -3)

9 - 1 = 8 (оставляем только 1 и 9, 3 вычеркиваем)

9 (оставляем только 9)

Теперь начинаем сложение:

9+1 = 10

9 -1 + 3 = 11

9 + 3 = 12

9 +3 + 1 = 13

Таким образом, мы получили все числа от 1 до 13, и число 13 равно сумме всех взятых чисел: 1 + 3 +9 = 13.

6) Добавив 27 и действуя аналогично, можно получить любое целое число от 14:  (27 - 13, где 13 состоит из чисел 1, 3, 9: 1+3+9 = 13, которые берем со знаком минус)  до

40 = +1 + 3 + 9 + 27,

затем, добавив 81,  получить все числа от

41 = −1 − 3 − 9− 27 + 81 до 121 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 и так далее.

Следовательно,  постепенно можно получить все целые числа

от 1 до 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1093

без пропусков и последнее число будет равно сумме всех заданных чисел.

ответ: До числа 1093 удастся сделать без пропусков

Т.о.,  можно получить все целые числа

от  n + 1 = (2n + 1) − n   до       3n+ 1 = (2n+ 1)+ n.

Cлагаемые в заданной сумме являются последовательными степенями числа 3:

3⁰ + 3¹ + 3² +3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶

Отсюда можно сделать вывод, что любое целое число можно записать в виде суммы степеней числа 3 с коэффициентами 0, 1 и −1