Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей: xi 1 3 5
pi 0,2 ? 0,4
а) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины;
б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z = 5X + 3.
Задача 6. Имеются выборочные данные интервального статистического распределения значений признака Х:
Х 8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18
ni 2 4 10 6 3
а) найти основные характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение;
б) изобразить данное распределение графически, построив гистограмму относительных частот;
в) указать точечные оценки для генеральных характеристик признака: генеральной средней а, генеральной дисперсии Dг и генерального среднего квадратического отклонения σг;
г) с надежностью 95% найти доверительный интервал для генеральной средней признака Х.
Вычисления в двух последних пунктах произвести в предположении, что значения признака Х в генеральной совокупности распределены по нормальному закону и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

а) Для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем произведение каждого значения "xi" на вероятность "pi":
xi * pi = 1 * 0,2 + 3 * 0,4 + 5 * 0,4
= 0,2 + 1,2 + 2
= 3,4

2. Вычислим математическое ожидание (M):
M = xi * pi = 3,4

3. Вычислим дисперсию (D):
D = (xi - M)^2 * pi = (1 - 3,4)^2 * 0,2 + (3 - 3,4)^2 * 0,4 + (5 - 3,4)^2 * 0,4
= (-2,4)^2 * 0,2 + (-0,4)^2 * 0,4 + (1,6)^2 * 0,4
= 5,76 * 0,2 + 0,16 * 0,4 + 2,56 * 0,4
= 1,152 + 0,064 + 1,024
= 2,24

4. Вычислим среднее квадратическое отклонение (σ):
σ = √D = √2,24 ≈ 1,49

Ответ:
а) Математическое ожидание (M) = 3,4
Дисперсия (D) = 2,24
Среднее квадратическое отклонение (σ) ≈ 1,49

б) Чтобы найти математическое ожидание (M), дисперсию (D) и среднее квадратическое отклонение (σ) случайной величины Z = 5X + 3, нужно выполнить аналогичные шаги:

1. Найдем произведение каждого значения "xi" на вероятность "pi" и умножим на 5, затем добавим 3:
(5*xi + 3) * pi = (5*1 + 3) * 0,2 + (5*3 + 3) * 0,4 + (5*5 + 3) * 0,4
= (8) * 0,2 + (18) * 0,4 + (28) * 0,4
= 1,6 + 7,2 + 11,2
= 20

2. Вычислим математическое ожидание (M):
M = (5*xi + 3) * pi = 20

3. Вычислим дисперсию (D):
D = ((5*xi + 3) - M)^2 * pi = ((5*1 + 3) - 20)^2 * 0,2 + ((5*3 + 3) - 20)^2 * 0,4 + ((5*5 + 3) - 20)^2 * 0,4
= (-12)^2 * 0,2 + (-2)^2 * 0,4 + (8)^2 * 0,4
= 144 * 0,2 + 4 * 0,4 + 64 * 0,4
= 28,8 + 1,6 + 25,6
= 56

4. Вычислим среднее квадратическое отклонение (σ):
σ = √D = √56 ≈ 7,48

Ответ:
б) Математическое ожидание (M) = 20
Дисперсия (D) = 56
Среднее квадратическое отклонение (σ) ≈ 7,48

а) Для нахождения основных характеристик выборки, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем среднее значение каждого интервала "Xi":
(8 + 10) / 2 = 9
(10 + 12) / 2 = 11
(12 + 14) / 2 = 13
(14 + 16) / 2 = 15
(16 + 18) / 2 = 17

2. Найдем сумму "ni" (количество значений) для всех интервалов:
2 + 4 + 10 + 6 + 3 = 25

3. Вычислим выборочную среднюю (Χ):
Χ = (Xi * ni) / n = (9 * 2 + 11 * 4 + 13 * 10 + 15 * 6 + 17 * 3) / 25
= (18 + 44 + 130 + 90 + 51) / 25
= 333 / 25
= 13,32

4. Вычислим выборочную дисперсию (S^2):
S^2 = (Σ((Xi - Χ)^2 * ni)) / (n - 1) = ((9 - 13,32)^2 * 2 + (11 - 13,32)^2 * 4 + (13 - 13,32)^2 * 10 + (15 - 13,32)^2 * 6 + (17 - 13,32)^2 * 3) / (25 - 1)
= ((-4,32)^2 * 2 + (-2,32)^2 * 4 + (-0,32)^2 * 10 + (1,68)^2 * 6 + (3,68)^2 * 3) / 24
= (18,6624 * 2 + 5,3824 * 4 + 0,1024 * 10 + 2,8224 * 6 + 13,5424 * 3) / 24
= (37,3248 + 21,5296 + 1,024 + 16,9344 + 40,6272) / 24
= 117,4392 / 24
≈ 4,89

5. Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение (S):
S = √(S^2) = √4,89 ≈ 2,21

Ответ:
а) Выборочная средняя (Χ) = 13,32
Выборочная дисперсия (S^2) ≈ 4,89
Выборочное среднее квадратическое отклонение (S) ≈ 2,21

б) Чтобы изобразить данное распределение графически и построить гистограмму относительных частот, нужно выполнить следующие шаги:

1. Создадим оси графика. Ось X будет представлять значения интервалов, а ось Y - значения относительных частот.

2. Построим прямоугольники со сторонами, соответствующими длинам интервалов, на оси X. Высота каждого прямоугольника будет соответствовать относительной частоте соответствующего интервала.

3. Зададим ширину основания каждого прямоугольника, чтобы получился гладкий график и не было разрывов между интервалами.

Ответ:
б) Гистограмма относительных частот будет демонстрировать распределение значений признака Х.

в) Чтобы указать точечные оценки для генеральных характеристик признака в генеральной совокупности, нужно использовать значения выборочных характеристик:
- Генеральная средняя (а) будет равна выборочной средней (Χ), то есть 13,32.
- Генеральная дисперсия (Dг) будет равна выборочной дисперсии (S^2), то есть около 4,89.
- Генеральное среднее квадратическое отклонение (σг) будет равно выборочному среднему квадратическому отклонению (S), то есть около 2,21.

г) Для нахождения доверительного интервала для генеральной средней признака Х с надежностью 95%, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем стандартное отклонение выборки (S) и исправленное стандартное отклонение выборки (S'):
S = √(S^2) = √4,89 ≈ 2,21
S' = S / √n = 2,21 / √25 ≈ 0,44

2. Найдем значение t-статистики для доверительного интервала с надежностью 95% и n-1 степенями свободы:
t = 2,064 (можно найти значение в таблице t-распределения)

3. Вычислим половину ширины доверительного интервала (E) с использованием найденного значения t-статистики:
E = t * S' = 2,064 * 0,44 ≈ 0,908

4. Найдем нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала:
Нижняя граница = Χ - E
= 13,32 - 0,908
≈ 12,412

Верхняя граница = Χ + E
= 13,32 + 0,908
≈ 14,228

Ответ:
г) Доверительный интервал для генеральной средней признака Х с надежностью 95% составляет примерно от 12,412 до 14,228.