Дифференцирование. подскажите как правильно найти производные функции, не пользуясь правилом лопиталя. y=sinx^arctgx =?

Надо использовать логарифмирование
y=sinx^arctgx
ln(y)=ln(sinx^arctgx)
ln(y)=arctg(x)*ln(sinx)
y`/y=cos(x)*arctg(x)/sin(x)+(1/(1+x^2)*ln(sinx)
y`=y*(cos(x)*arctg(x)/sin(x)+(1/(1+x^2)*ln(sinx))
y`=sinx^arctgx(cos(x)*arctg(x)/sin(x)+(1/(1+x^2)*ln(sinx))

Правило Лопиталя не относится к производным, это правило для раскрытия неопределенностей.
что касается производной
логарифмируем сначала
lny=arctgxlnsinx
y'/y=cosx/sinx*arctgx+1/(1+x^2)lnsinx=ctgx*arctgx+lnsinx/(1+x^2)
y'=sinx^arctgx(ctgx*arctgx+lnsinx/(1+x^2))  !знаменатель не под логарифмом

поставьте лучшее, если можно.