Дети собирали в лесу грибы. выйдя из леса, они построились парами- мальчик с девочкой, причём у мальчика грибов или вдвое больше, или вдвое меньше, чем у девочки. возможно ли, что все дети вместе собрали 500

Для простоты решения возьмём минимальное количество детей: два. То есть, мальчик и девочка. Пусть у девочки х грибов, тогда у мальчика 2х грибов; тогда вместе у них 3х грибов. Тогда 3х=500. х=500:3. Как видно, задача не имеет решений в целых числах.
Если рассматривать общий случай с большим количеством детей, то рассуждения строим следующим образом: у каждой пары детей количество грибов кратно трём, так как у одного определённое количество грибов, а у другого вдвое больше. Тогда общее количество грибов у всех детей также должно быть кратно трём. Но это противоречит условию, что все дети собрали 500 грибов, так как 500 не кратно трём.
Вывод: невозможно, что все дети вместе собрали 500 грибов.
ответ: невозможно.