Даны три последовательные вершины параллелограмма а(-1; 2) в(1; 3) с(4; 0). не находя координатов вершины d, найти: уравнение стороны аd; уравнение высоты вк, опущенной из вершины в на сторону аd; длину высоты вк; уравнение диагонали вd; тангенс угла между диагоналями параллелограмма; косинус угла в параллелограмма.

Выведем уравнение для стороны BC:

3=k+b
0=4k+b

3=-3k
b=3-k

k=-1
b=4

y=-x+4 - уравнение стороны BC

Выведем уравнение для стороны AD:
сторона AD параллельна стороне BC, т.е. имеет тот же угол наклона:
y=-x+b
по координатам точки A определим b:
2=1+b
b=1

y=-x+1 - уравнение стороны AD

Выведем уравнение для высоты BK:
сторона AD имеет угол наклона arctg(-1)=135 градусов
высота BK имеет угол наклона 135-90=45 градусов:
y=x*tg45+b
у=х+b
по координатам точки В определим b:
3=1+b
b=2

y=x+2 - уравнение высоты BK

определим координаты точки пересечения AD и BK (точки K):
-x+1=x+2
2x=-1
x=-1/2=-0,5
y=-0,5+2=1,5
вычислим длину высоты BK (примечание: sqrt - квадратный корень):
BK=sqrt((3-1,5)^2+(1+0,5)^2)= sqrt(1,5^2+1,5^2)=sqrt(2,25+2,25)=sqrt(4,5)

Выведем уравнение для стороны AB:

2=-k+b
3=k+b

2b=5
k=3-b

b=5/2
k=1/2

b=2,5
k=0,5

y=0,5x+2,5 - уравнение стороны AB

вычислим угол ABK:
BK имеет угол наклона 45 градусов
AB имеет угол наклона arctg(0,5)
tg(ABK)=tg(45-arctg(0,5))=(tg45+tgarctg(0,5))/(1-tg45*tgarctg(0,5))=(1+0,5)/(1-0,5)=3
угол ABK составляет arctg3 градусов

Выведем уравнение для диагонали BD:
диагональ BD имеет угол наклона (90+arctg3) градусов:
y=x*tg(90+arctg3)+b
по координатам точки B определим b:
3=tg(90+arctg3)+b
b=3-tg(90+arctg3)

y=x*tg(90+arctg3)+3-tg(90+arctg3)
y=3+(x-1)tg(90+arctg3) - уравнение диагонали BD

Выведем уравнение для диагонали AC:

2=-k+b
0=4k+b

5k=-2
b=2+k

k=-2/5
b=8/5

k=-0,4
b=1,6

y=-0,4x+1,6 - уравнение диагонали АС
угол наклона диагонали АС составляет arctg(-0,4)=-arctg(0,4) градусов

угол между диагоналями BD и AC: 90+arctg3+arctg(0,4)
тангенс найденного угла: tg(90+arctg3+arctg(0,4))

косинус угла B параллелограмма: cos(90+arctg3)=cos90*cosarctg3-sin90*sinarctg3=0-sinarctg3=-sinarctg3