Даны точки A, B, C. Найти: a) уравнение и длину BC; б) уравнение высоты АД; в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ВС; г) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС; д) угол А треугольника АВС.
А (1;2) В(6;2) С(3;0)

Даны точки А(1;2), В(6;2), С(3;0).

Найти:  

a) уравнение и длину BC;  

Вектор ВС = (3-6; 0 -2) = (-3; -2). Модуль равен √((-3)² + (-2)²) = √13.

Уравнение ВС: (х - 6)/(-3) = (у - 2)/(-2).

или в общем виде 2х - 3у - 6 = 0.

б) уравнение высоты АД;  

Высота АД перпендикулярна стороне ВС: 2х - 3у - 6 = 0.

Её уравнение имеет вид 3х + 2у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на -В и А).

Для определения величины С подставим координаты точки А(1;2).

АД: 3*1 + 2*2 + С = 0, отсюда С = -3 - 4 = -7.

АД: 3х + 2у - 7 = 0.

в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ВС;

Коэфициенты А и В сохраняются такими же, как и у стороны ВС.

2х - 3у + С = 0, для определения параметра С подставим координаты точки А(1;2): 2*1 – 3*2 + С = 0, отсюда С = -2 + 6 = 4.

Уравнение 2х - 3у + 4 = 0.

г) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС.

Это будет средняя линия треугольника, параллельная стороне АС.  

Находим координаты точки Д, являющейся серединой стороны АВ.

Д = (А(1;2) + В(6;2))/2 = (3,5; 2).

Коэфициенты А и В сохраняются такими же, как и у стороны АС.

Точки А(1;2) и С(3;0).

Вектор АС = (3-1; 0-2) = (2; -2).

Уравнение АС: (х - 1)/2 = (у - 2)/(-2) или в общем виде

x + y – 3 = 0.

Тогда параллельная прямая имеет вид x + y + С = 0.

Для определения параметра С подставим координаты точки Д(3,5; 2):  

1*3,5 + 1*2 + С = 0, отсюда С = -3,5 - 2 = -5,5.

Уравнение х + у – 5,5 = 0 или в целых числах 2x + 2y – 11 = 0.

д) угол А треугольника АВС.

Вектор АВ = (6-1; 2-2) = (4; 0), модуль равен 4.

Вектор АС = (2; -2 ), модуль равен √8 = 2√2.

cos B = (4*2 + 0*(-2)) / (4*2√2) = 8 / (8*√2) = 1/√2 = √2/2.

B = arc cos(√2/2) =  45 градусов.