Даны координаты вершин треугольника А(3;-2) В(6;2) С(7;0) Найти:
1 длину стороны АВ;
2 уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3 угол B в радианах;
4 уравнение медианы АЕ;
5 уравнение и длину высоты СД;
6 уравнение окружности, для которой высота СД есть диаметр;
7 уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне
АВ, и точку ее пересечения с высотой СД;
8 систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Хорошо, давайте решим поставленные задачи по порядку:

1) Длина стороны AB:
Для вычисления длины стороны AB воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Подставим значения координат A(3;-2) и B(6;2) в формулу:

AB = √((6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2)
= √(3^2 + 4^2)
= √(9 + 16)
= √25
= 5

Таким образом, длина стороны AB равна 5.

2) Уравнения сторон AB и ВС и их угловые коэффициенты:
Уравнение прямой вида y = kx + b определяется угловым коэффициентом k и свободным членом b.

Для нахождения углового коэффициента k воспользуемся формулой:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек на прямой.

Для нахождения свободного члена b, подставим известные координаты точки в уравнение прямой и решим его для b.

a) Уравнение стороны AB:
Из задания имеем A(3;-2) и B(6;2).

Угловой коэффициент к стороны AB:
k = (2 - (-2)) / (6 - 3) = 4/3

Подставим точку A(3;-2) в уравнение прямой:
-2 = (4/3) * 3 + b
-2 = 4 + b
b = -2 - 4
b = -6

Таким образом, уравнение стороны AB имеет вид y = (4/3)x - 6.

б) Уравнение стороны BC:
Из задания имеем B(6;2) и C(7;0).

Угловой коэффициент к стороны BC:
k = (0 - 2) / (7 - 6) = -2

Подставим точку B(6;2) в уравнение прямой:
2 = -2 * 6 + b
2 = -12 + b
b = 2 + 12
b = 14

Таким образом, уравнение стороны BC имеет вид y = -2x + 14.

3) Угол B в радианах:
Для нахождения угла B в радианах воспользуемся формулой тангенса:

tg(B) = k1 - k2 / 1 + k1 * k2

где k1 и k2 - угловые коэффициенты линий, на которых лежат стороны AB и BC соответственно.

Из предыдущего пункта у нас уже есть значения угловых коэффициентов:
k1 = 4/3
k2 = -2

Подставим значения в формулу:

tg(B) = (4/3) - (-2) / 1 + (4/3) * (-2)
= (4/3) + 2 / 1 - 8/3
= (4/3) + 6/3 / (3 - 8/3)
= (10/3) / (9/3 - 8/3)
= 10/3 / 1/3
= 10

Таким образом, tg(B) = 10. Чтобы найти угол B в радианах, возьмем арктангенс от 10:

B = arctan(10)

Значение угла B выраженное в радианах, требуемое в задаче, находится на интервале от -π/2 до π/2. Чтобы получить значение в этом интервале, можно воспользоваться ближайшим углом, равным π/4:

B = π/4

4) Уравнение медианы AE:
Медиана АЕ - это линия, соединяющая вершину A треугольника с серединой стороны BC.

Для нахождения уравнения медианы АЕ, найдем середину стороны BC:

Середина стороны BC:
x1 = (x_B + x_C) / 2
y1 = (y_B + y_C) / 2

Подставим значения координат точек B(6;2) и C(7;0) в формулу:

x1 = (6 + 7) / 2
= 13 / 2
= 6.5

y1 = (2 + 0) / 2
= 2 / 2
= 1

Таким образом, середина стороны BC равна точке (6.5;1).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точку A(3;-2) и середину стороны BC (6.5;1) с помощью формулы уравнения прямой, заданной двумя точками:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Подставим значения координат точек A(3;-2) и (6.5;1) в формулу:

y - 1 = ((-2 - 1) / (3 - 6.5)) * (x - 6.5)
y - 1 = (-3 / (-3.5)) * (x - 6.5)
y - 1 = (3/3.5) * (x - 6.5)
y - 1 = (6/7) * (x - 6.5)
y = (6/7)x - 39/7 + 7/7
y = (6/7)x - 32/7

Таким образом, уравнение медианы АЕ имеет вид y = (6/7)x - 32/7.

5) Уравнение и длина высоты СД:
Высота СД - это линия, проходящая через вершину C перпендикулярно стороне AB.

Для нахождения уравнения высоты СД, найдем уравнение прямой, перпендикулярной стороне AB и проходящей через точку C.

Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид:

y - y_С = -1/k_AB * (x - x_С),

где k_AB - угловой коэффициент стороны AB (-AB/BC), (x_С, y_С) - координаты точки C.

Координаты точки C(7;0), угловой коэффициент k_AB = -4/3 (из предыдущего пункта).

Подставим значения в формулу:

y - 0 = -1/(-4/3)(x - 7)
y = 4/3(x - 7)

Таким образом, уравнение высоты СД имеет вид y = 4/3(x - 7).

Для нахождения длины высоты СД воспользуемся формулой для высоты:

h = AB * sin(B)

где AB - длина стороны AB, B - угол, составленный стороной AB и высотой СД.

У нас уже ранее было найдено значение длины стороны AB равное 5, а угол B равен π/4.

Подставим значения в формулу:

h = 5 * sin(π/4)
≈ 5 * 0.707
≈ 3.535

Таким образом, длина высоты СД примерно равна 3.535.

6) Уравнение окружности, для которой высота СД есть диаметр:
Для нахождения уравнения окружности, воспользуемся формулой окружности:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2

где (x_0, y_0) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Центр окружности совпадает с точкой D(6.5, 0) (середина стороны BC), а диаметром является высота СД, равная 3.535 (как было рассчитано в пункте 5).

Подставим значения в формулу:

(x - 6.5)^2 + (y - 0)^2 = (3.535/2)^2

(x - 6.5)^2 + y^2 = (3.535/2)^2

Таким образом, уравнение окружности имеет вид (x - 6.5)^2 + y^2 = 6.25.

7) Уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне AB, и точку её пересечения с высотой СД:
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку E(3, -2) и параллельной стороне AB, воспользуемся тем, что прямая параллельна другой, если их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент прямой, параллельной стороне AB, равен угловому коэффициенту стороны AB, который был рассчитан в пункте 2:

k = 4/3

Подставим значения в формулу:

y - y_e = k(x - x_e)

y - (-2) = 4/3(x - 3)
y + 2 = 4/3x - 4
y = 4/3x - 4 - 2
y = 4/3x - 6

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку E(3, -2) и параллельной стороне AB, имеет вид y = 4/3x - 6.

Точка пересечения этой прямой с высотой СД может быть найдена путем решения системы уравнений прямой, проходящей через точки A и E, и прямой, проходящей через точку D и параллельной стороне AB.

Зная уравнение прямой, проходящей через точку D и параллельной стороне AB (из пункта 5) - y = 4/3(x - 7) - и уравнением высоты СД - y = 4/3(x - 6.5), решим систему уравнений:

4/3(x - 7) = 4/3(x - 6.5)
(x - 7) = (x - 6.5)
x - 7 = x - 6.5
-7 = -6.5

Это уравнение не имеет решений.

Таким образом, эти две прямые не пересекаются, и следовательно не существует точки пересечения прямой, проходящей через точку E и параллельной стороне AB, с высотой СД.

8) Система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:
Чтобы определить систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC, нужно рассмотреть наклоны сторон треугольника.

Угловые коэффициенты сторон AB, BC и AC (из пункта 2):
k_AB = 4/3
k_BC = -2
k_AC = (0 - (-2)) / (7 - 3) = 1/2

Треугольник ABC будет ограничен следующими условиями:

- Сторона AB:
-∞ < x < +∞
-∞ < y < +∞

- Сторона BC:
-∞ < x < +∞
-∞ < y < +∞

- Сторона AC:
-∞ < x < +∞
-2 < y < +∞

Таким образом, систему линейные неравенств, определяющие треугольник ABC, можно записать следующим образом:
-∞ < x < +∞
-∞ < y < +∞
-2 < y < +∞

Данная система неравенств определяет область на плоскости, где находятся точки треугольника ABC соответствующие заданным условиям.

Это был подробный ответ на задачу, включающий пошаговые решения и объяснения каждого этапа. Если у вас есть ещё вопросы, обращайтесь!