Даны координаты точек a, b, c. требуется:
1)составить уравнение плоскости проходящей через точку c перпендикулярно прямой ab;
2)точку пересечения этой плоскости с прямой ab;
3)найти расстояние от точки c до прямой ab;
4)составить уравнение плоскости q, проходящей через точки a, b, и с.
a(-4; 0; 8), b(0; 2; 4), c(-3; -1; 4)

1) Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку c и перпендикулярной прямой ab, мы должны найти векторное произведение векторов ab и ac. Вектор ab можно получить вычитанием координат точки a из координат точки b:

ab = (0 - (-4), 2 - 0, 4 - 8) = (4, 2, -4)

Вектор ac можно получить вычитанием координат точки a из координат точки c:

ac = (-3 - (-4), -1 - 0, 4 - 8) = (1, -1, -4)

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов:

n = ab x ac

n = (4, 2, -4) x (1, -1, -4)
= ((2 * (-4) - (-1) * (-4)), ((-4) * 1 - (-4) * 4), (4 * (-1) - 2 * 1))
= (-6, 12, -6)

Так как мы ищем уравнение плоскости, то мы знаем, что коэффициенты x, y и z в уравнении должны быть координатами вектора, перпендикулярного плоскости. То есть уравнение плоскости проходящей через точку c и перпендикулярной прямой ab будет иметь вид:

-6x + 12y - 6z + d = 0, где d - неизвестная константа.

Чтобы найти значение константы d, подставим координаты точки c в уравнение:

-6*(-3) + 12*(-1) - 6*4 + d = 0
18 - 12 - 24 + d = 0
-18 + d = 0
d = 18

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку c и перпендикулярной прямой ab, будет:

-6x + 12y - 6z + 18 = 0

2) Чтобы найти точку пересечения этой плоскости с прямой ab, мы должны подставить координаты точки ab в уравнение плоскости и решить получившуюся систему уравнений. Подставляем координаты точки ab:

-6*0 + 12*2 - 6*4 + 18 = 0

24 - 24 + 18 = 0

18 = 0

Заметим, что получившийся результат противоречит самому себе. В данном случае прямая ab не пересекает плоскость, поскольку 18 не равно 0. То есть прямая ab лежит параллельно плоскости, проходящей через точку c и перпендикулярной прямой ab.

3) Чтобы найти расстояние от точки c до прямой ab, мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между точкой и прямой в пространстве:

d = |(ac x ab)| / |ab|

Уже ранее мы нашли векторное произведение векторов ac и ab:

ac x ab = (1, -1, -4) x (4, 2, -4)
= ((-1) * (-4) - (-4) * 2, (-4) * 4 - (-1) * (-4), (-1) * 2 - 1 * (-4))
= (-6, -12, -2)

Теперь найдем модуль этого вектора:

|ac x ab| = √((-6)^2 + (-12)^2 + (-2)^2)
= √(36 + 144 + 4)
= √184

Теперь найдем модуль вектора ab:

|ab| = √(4^2 + 2^2 + (-4)^2)
= √(16 + 4 + 16)
= √36
= 6

Теперь мы можем найти расстояние d:

d = |(ac x ab)| / |ab|
= √184 / 6

Итак, расстояние от точки c до прямой ab равно √184 / 6.

4) Чтобы составить уравнение плоскости q, проходящей через точки a, b и c, мы можем использовать формулу для уравнения плоскости, проходящей через три точки в пространстве:

(x - a) * n = 0, где x - точка на плоскости, a - координаты точки a, n - вектор, перпендикулярный плоскости.

Мы уже нашли вектор n в первом пункте:

n = (-6, 12, -6)

Подставим координаты точки a:

(x - (-4), y - 0, z - 8) * (-6, 12, -6) = 0

(-6x + 24, 12y, -6z + 48) * (-6, 12, -6) = 0

(-6x + 24) * (-6) + 12y * 12 + (-6z + 48) * (-6) = 0

36x - 144 + 144y - 6z + 288 = 0

36x + 144y - 6z + 144 = 0

Итак, уравнение плоскости q, проходящей через точки a, b и c, будет:

36x + 144y - 6z + 144 = 0