Даны четыре точки А1 (4,2,5), А2 (0,7,1), А3 (0,2,7), А4 (1,5,0). Составить уравнения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3; в) прямой А3N , параллельной А1А2.

а) Чтобы составить уравнение плоскости А1А2А3, нужно найти нормальный вектор этой плоскости.
Для этого можно воспользоваться векторным произведением двух векторов, задающих стороны этого треугольника.
Возьмем два вектора: A1A2 = (0-4, 7-2, 1-5) = (-4, 5, -4) и A1A3 = (0-4, 2-2, 7-5) = (-4, 0, 2).
Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов: (AB) = ( (-4, 5, -4) x (-4, 0, 2)).
Это можно сделать, разложив вектора на координаты и вычислив определители.
Результатом будет вектор, перпендикулярный плоскости А1А2А3.

Теперь у нас есть нормальный вектор, и мы можем использовать его и любую точку на плоскости, чтобы написать уравнение этой плоскости.
Давайте возьмем точку А1 (4,2,5) и вектор нормали N = (-8, 0, 8).
Тогда уравнение плоскости будет выглядеть так: -8x + 0y + 8z + D = 0.

Для нахождения константы D нам нужно подставить координаты точки А1 в уравнение и решить его относительно D.
-8*4 + 0*2 + 8*5 + D = 0
-32 + 0 + 40 + D = 0
8 + D = 0
D = -8

Таким образом, уравнение плоскости А1А2А3 будет выглядеть так: -8x + 8z - 8 = 0.

б) Чтобы составить уравнение прямой А4М, перпендикулярной плоскости А1А2А3, мы можем воспользоваться нормальным вектором плоскости А1А2А3, который мы нашли ранее, и точкой А4 (1,5,0).
Уравнение прямой можно записать в параметрической форме: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, где (x0, y0, z0) - координаты точки на прямой, (a, b, c) - направляющие коэффициенты, t - параметр.

В данном случае мы знаем точку на прямой (1,5,0) и направляющий вектор N = (-8, 0, 8) из пункта а. Так как прямая должна быть перпендикулярна плоскости, то вектор направления прямой должен быть перпендикулярен вектору нормали плоскости А1А2А3.

Теперь подставим координаты точки и направляющий вектор в параметрическое уравнение и получим уравнение прямой:
x = 1 - 8t
y = 5
z = 0 + 8t

в) Чтобы составить уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2, мы можем использовать вектор А1А2 = (-4,5,-4) в качестве направляющего вектора прямой. Так как А3N должна быть параллельна А1А2, то она должна иметь ту же направляющую прямую.

Мы также знаем точку А3 (0,2,7). Подставим координаты точки и направляющий вектор в параметрическое уравнение и получим уравнение прямой:
x = 0 - 4t
y = 2 + 5t
z = 7 - 4t

Таким образом, получаем уравнение прямой, параллельной А1А2: x = -4t, y = 2 + 5t, z = 7 - 4t.