Дано комплексное число z=21 – 4i. Записать число равное, противоположное, сопряженное исходному.

Выполнить действие z =(3 - 2i) + (-6 - 2i)

Выполнить умножение z = (3 + 4i) (1 + 3i)

Выполнить деление z = (-6 + 2i ):(3 - 4i)

Изобразить число на плоскости: (3 + 4i)

Представить число в тригонометрической форме: -3+2i

Хорошо, давай по порядку решим каждое задание.

1. Записать число равное, противоположное, сопряженное исходному:
Для того чтобы найти число, равное противоположному исходному, нужно изменить знаки действительной и мнимой частей числа. То есть, если исходное число z = 21 - 4i, то число, равное противоположному, будет -z = -21 + 4i.
Чтобы найти сопряженное число, нужно изменить знак мнимой части. То есть, сопряженное число комплексному числу z = 21 - 4i будет z' = 21 + 4i.

2. Выполнить действие z = (3 - 2i) + (-6 - 2i):
Для сложения комплексных чисел нужно сложить их действительные и мнимые части по отдельности. Так как у обоих чисел мы имеем -2i, мы можем сложить эти мнимые части и получить -4i. Действительные части тоже можно сложить и получить -3. Таким образом, z = (3 - 2i) + (-6 - 2i) = -3 - 4i.

3. Выполнить умножение z = (3 + 4i) (1 + 3i):
Для умножения комплексных чисел можно использовать формулу суммы двух квадратов: (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. В нашем случае:

z = (3 + 4i) (1 + 3i) = (3*1 - 4*3) + (3*3 + 4*1)i = (3 - 12) + (9 + 4)i = -9 + 13i.

4. Выполнить деление z = (-6 + 2i) : (3 - 4i):
Для деления комплексных чисел нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя и затем привести к требуемому виду. В нашем случае:

z = (-6 + 2i) : (3 - 4i) = ((-6 + 2i)(3 + 4i)) / ((3 - 4i)(3 + 4i)).

Упрощая числитель и знаменатель, получим:

z = ((-18 - 6i) + (8i - 24i^2)) / (9 - 16i^2).

Так как i^2 = -1, подставляем это значение:

z = ((-18 - 6i) + (8i - 24(-1))) / (9 - 16(-1)).

z = (-18 - 6i + 8i + 24) / (9 + 16).

z = (6 + 2i) / 25 = (6/25) + (2/25)i.

5. Изобразить число на плоскости (3 + 4i):
Чтобы изобразить число на комплексной плоскости, мы используем две оси: горизонтальную (действительную часть числа) и вертикальную (мнимую часть числа).
Для числа (3 + 4i) действительная часть равна 3, поэтому мы идем вправо на 3 единицы от начала координат. Мнимая часть равна 4, поэтому мы идем вверх на 4 единицы от начала координат.
Точка, полученная этим способом, будет находиться в координатах (3,4) на плоскости.

6. Представить число в тригонометрической форме: -3 + 2i:
Чтобы представить число в тригонометрической форме, нам нужно найти его радиус и угол. Радиус можно найти с помощью формулы r = sqrt(a^2 + b^2), где a и b - действительная и мнимая части числа соответственно. В нашем случае:

r = sqrt((-3)^2 + (2)^2) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13).

Угол можно найти с помощью формулы tan(theta) = b/a. В нашем случае:

tan(theta) = 2/(-3).

Находим угол:

theta = arctan(2/(-3)).

Заметим, что угол будет лежать во втором квадранте, так как sin(theta) > 0 и cos(theta) < 0 при таких значениях угла.

Таким образом, число -3 + 2i в тригонометрической форме будет записываться как sqrt(13) * exp(i * theta), где "exp" - это функция экспоненты.