Дано: коло, О - центр кола, MN = EF- хорди, OP .перпендикулярний. MN, OD .перпендикулярний.EF.
Довести: OP = OD.

Для доведення рівності OP = OD, ми можемо скористатись властивостями перпендикулярних ліній, а також властивостями кола.

Оскільки OP та OD є перпендикулярними лініями, то їх можна розглядати як радіуси кола, що виходять з центра O. Тобто, OP і OD є відрізками, що з'єднують центр кола O з точками на колі.

З умови задачі також відомо, що MN = EF. Це означає, що хорда MN має ту саму довжину, що і хорда EF.

Тепер розглянемо трикутники OPM та ODE.

У трикутнику OPM:

OP - радіус кола

MP - відрізок, що з'єднує точку M з центром O

PM - відрізок, що з'єднує точку P з точкою M (з властивості перпендикулярних ліній)

У трикутнику ODE:

OD - радіус кола

DE - відрізок, що з'єднує точку D з центром O

DE - відрізок, що з'єднує точку E з точкою D (з властивості перпендикулярних ліній)

За властивістю кола, радіуси, що виходять з центра O і дотикаються до хорди, ділять її навпіл. Отже, MP = PM і DE = ED.

Таким чином, трикутники OPM та ODE є рівнобедреними трикутниками, оскільки вони мають дві рівні сторони.

У рівнобедреному трикутнику основа бісектриси (відрізок, що ділить основу навпіл) є також висотою. Отже, перпендикулярни лінії з центра O до хорд MN і EF (тобто OP і OD) також є бісектрисами.

З цього випливає, що OP і OD розділяють відрізок EF навпіл, оскільки MN = EF і OP = OD.

Таким чином, ми довели, що OP = OD.

Пошаговое объяснение: