Дано десять различных целых чисел.для каждых двух чисел подсчитали их разность (большее минус меньшее). Среди этих разностей оказалось ровно 44 различных. Докажите что одно из исходных десяти чисел равно полусумме двух других

Пошаговое объяснение:

Всего разностей 1+2+...+9=45

Значит есть только одна пара равных разностей. a-b=b-c

2b=a+c откуда b=(a+c)/2.

Добрый день! Давайте разберемся вместе с этой задачей.

У нас дано десять различных целых чисел, и мы должны доказать, что одно из этих десяти чисел равно полусумме двух других.

Давайте рассмотрим всевозможные разности между этими десятью числами. Мы знаем, что среди этих разностей оказалось ровно 44 различных значений. Обозначим эти разности как d1, d2, ..., d44.

Предположим, что все разности (d1, d2, ..., d44) различны. Тогда у нас есть 44 разных значений для 10 чисел. Однако это невозможно, потому что у нас только 10 чисел. Значит, в нашем списке разностей есть повторяющиеся значения.

Рассмотрим эти повторяющиеся значения. Пусть di и dj — две разности, которые совпадают. Это означает, что для некоторых чисел ai и aj из исходного списка мы имеем ai - aj = di и aj - ai = dj.

Мы можем сложить эти два равенства, чтобы избавиться от aj и ai: ai - aj + aj - ai = di + dj. Простыми математическими преобразованиями получаем 0 = di + dj. То есть, сумма этих двух разностей равна нулю.

Теперь рассмотрим два случая:

1) di и dj являются положительными разностями. В таком случае, их сумма не может быть нулем. Этот случай невозможен.

2) di и dj являются отрицательными разностями. Тогда их сумма тоже не может быть нулем. Этот случай также невозможен.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Предположение о том, что все разности являются различными, неверно. Значит, в нашем списке разностей обязательно есть повторяющиеся значения.

Теперь, когда мы знаем, что в списке разностей есть повторяющиеся значения, давайте рассмотрим их соответствующие числа. Пусть ai-aj = di = dj, где ai и aj - исходные числа, а di и dj - соответствующие разности.

Теперь давайте рассмотрим сумму ai и aj: ai + aj = di + dj. Заметим, что ди и дж одинаковые значения, поэтому эту сумму можно записать так: ai + aj = 2 * di.

Получается, что одно из исходных десяти чисел, а именно ai, равно полусумме двух других чисел, в данном случае aj.

Таким образом, мы доказали, что одно из исходных десяти чисел равно полусумме двух других.

Я надеюсь, что я смог объяснить эту задачу достаточно подробно и понятно для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!