Дано: ABCDFM...M1 - правильная
шестиугольная призма. A1D = 8 см,
∠AА1D = 30°
Найти:V

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся основные формулы для нахождения объема призмы и площади треугольника.

Дано, что ABCDEF - правильная шестиугольная призма. Это означает, что грани этой призмы являются правильными шестиугольниками, а оси шестиугольников перпендикулярны плоскости основы.

Также задано, что A1D = 8 см и ∠AА1D = 30°.

1. Обозначим точку пересечения диагоналей основы ABCDEF как O. Так как ABCDEF - правильная шестиугольная призма, то точка O является центром шестиугольника.

2. Заметим, что треугольник АА1D является прямоугольным, так как AА1 перпендикулярно AD. Также известно, что ∠AА1D = 30°. Значит, треугольник АА1D - равнобедренный.

3. Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по формуле r = a / (2 * sin(∠AА1D)), где a - основание равнобедренного треугольника (AD), ∠AА1D - угол при основании.

4. Так как окружность описана вокруг правильного шестиугольника, радиус описанной окружности разбивает этот шестиугольник на 6 равносторонних треугольников.

5. Зная радиус описанной окружности, можем найти сторону равностороннего треугольника, образованного диагоналями основы ABCDEF, по формуле a = 2 * r * sin(π/6), где r - радиус описанной окружности, π - число пи.

6. Теперь, зная сторону равностороннего треугольника, можем найти площадь этого треугольника по формуле S = (sqrt(3) * a^2) / 4, где a - сторона треугольника, sqrt - квадратный корень.

7. Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту. Поскольку ABCDEF - правильная шестиугольная призма, высота будет равна AD.

Теперь решение задачи пошагово:

1. Найдем радиус описанной окружности равнобедренного треугольника АА1D:
r = AD / (2 * sin(∠AА1D))
= 8 / (2 * sin(30°))
= 8 / (2 * 0.5)
= 8 / 1
= 8 см

2. Найдем сторону равностороннего треугольника, образованного диагоналями основы ABCDEF:
a = 2 * r * sin(π/6)
= 2 * 8 * sin(π/6)
≈ 2 * 8 * 0.5
≈ 16 * 0.5
= 8 см

3. Найдем площадь равностороннего треугольника:
S = (sqrt(3) * a^2) / 4
= (sqrt(3) * 8^2) / 4
= (sqrt(3) * 64) / 4
= (8 * sqrt(3)) / 1
= 8 * sqrt(3) см^2

4. Найдем объем призмы:
V = S * h
= 8 * sqrt(3) * 8
= 64 * sqrt(3) см^3

Итак, ответ: V = 64 * sqrt(3) см^3.