Дана система векторов. выделить максимальную линейно независимую подсистему и выразить остальные векторы в виде линейных комбинаций векторов выделенной подсистемы.

f1 = (2; 1); f2 = (3; 2); f3 = (1; 1); f4 = (2; 3).

Для решения этой задачи нам нужно определить максимально линейно независимую подсистему данной системы векторов. Для этого мы будем проверять, является ли каждый вектор линейно независимым от остальных векторов.

Шаг 1: Проведем первую проверку, сравнив f1 и f2:
f1 = (2; 1)
f2 = (3; 2)

Мы можем применить следующее правило: если векторы линейно зависимы, их можно записать в виде линейной комбинации друг друга. То есть, мы должны проверить, существуют ли такие числа a и b, чтобы a * f1 + b * f2 = 0.

Умножим первый вектор на a и второй вектор на b:

a * (2; 1) + b * (3; 2) = (2a + 3b; a + 2b) = (0; 0)

Теперь мы можем записать следующие уравнения:

2a + 3b = 0 (1)
a + 2b = 0 (2)

Мы знаем, что система уравнений имеет ненулевое решение (a; b), если определитель матрицы коэффициентов равен нулю.

| 2 3 |
| 1 2 |

2 * 2 - 3 * 1 = 1.

Определитель не равен нулю, поэтому уравнения (1) и (2) не могут иметь нетривиального решения (a; b), и, следовательно, векторы f1 и f2 являются линейно независимыми.

Шаг 2: Проведем вторую проверку, сравнив f1 и f3:
f1 = (2; 1)
f3 = (1; 1)

Таким же образом, мы должны проверить, существуют ли такие числа a и b, чтобы a * f1 + b * f3 = 0.

Умножим первый вектор на a и второй вектор на b:

a * (2; 1) + b * (1; 1) = (2a + b; a + b) = (0; 0)

Теперь мы можем записать следующие уравнения:

2a + b = 0 (3)
a + b = 0 (4)

Снова проверим определитель матрицы коэффициентов:

| 2 1 |
| 1 1 |

2 * 1 - 1 * 1 = 1.

Определитель также не равен нулю, поэтому уравнения (3) и (4) не могут иметь нетривиального решения (a; b), и векторы f1 и f3 являются линейно независимыми.

Шаг 3: Проведем третью проверку, сравнив f1 и f4:
f1 = (2; 1)
f4 = (2; 3)

Еще раз проверим, существуют ли такие числа a и b, чтобы a * f1 + b * f4 = 0.

Умножим первый вектор на a и второй вектор на b:

a * (2; 1) + b * (2; 3) = (2a + 2b; a + 3b) = (0; 0)

Теперь мы можем записать следующие уравнения:

2a + 2b = 0 (5)
a + 3b = 0 (6)

Проверим определитель матрицы коэффициентов:

| 2 2 |
| 1 3 |

2 * 3 - 2 * 1 = 4.

Определитель не равен нулю, поэтому уравнения (5) и (6) не могут иметь нетривиального решения (a; b), и векторы f1 и f4 являются линейно независимыми.

Шаг 4: Проведем последнюю проверку, сравнив f2 и f3:
f2 = (3; 2)
f3 = (1; 1)

Мы должны проверить, существуют ли такие числа a и b, чтобы a * f2 + b * f3 = 0.

Умножим первый вектор на a и второй вектор на b:

a * (3; 2) + b * (1; 1) = (3a + b; 2a + b) = (0; 0)

Теперь мы можем записать следующие уравнения:

3a + b = 0 (7)
2a + b = 0 (8)

Проверим определитель матрицы коэффициентов:

| 3 1 |
| 2 1 |

3 * 1 - 1 * 2 = 1.

Определитель не равен нулю, поэтому уравнения (7) и (8) не могут иметь нетривиального решения (a; b), и векторы f2 и f3 являются линейно независимыми.

Таким образом, мы получили, что все четыре вектора f1, f2, f3 и f4 являются линейно независимыми. Значит, вся система образует максимально линейно независимую подсистему.

Теперь давайте выразим остальные векторы в виде линейных комбинаций векторов выделенной подсистемы:

f1 = (2; 1)
f2 = (3; 2)
f3 = (1; 1)
f4 = (2; 3)

Поскольку все векторы являются линейно независимыми, ни один вектор не может быть выражен через другие. Таким образом, ни один из векторов не может быть выражен в виде линейной комбинации других векторов.

В итоге, ответ на данный вопрос - все четыре вектора являются линейно независимыми, и ни один из них не может быть выражен в виде линейной комбинации других векторов данной системы.