Дана геометрическая прогрессия b5=-6, b7=-54. ... Найдите сумму первых 6 членов прогрессии

Перед тем как мы начнем, давайте определим основные понятия, связанные с геометрической прогрессией.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число (называемое знаменателем прогрессии).

Обозначим знаменатель прогрессии как q.

Исходя из данной информации, у нас есть два уравнения:

b5 = -6 (1)
b7 = -54 (2)

Для решения задачи нам необходимо найти знаменатель прогрессии q и затем вычислить сумму первых 6 членов прогрессии.

Для нахождения знаменателя прогрессии используем формулу общего члена геометрической прогрессии:

bn = b1 * q^(n-1)

где bn - n-й член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Мы знаем, что bn = -6 при n = 5, поэтому можем записать:

-6 = b1 * q^(5-1)
-6 = b1 * q^4 (3)

Также мы знаем, что bn = -54 при n = 7, поэтому можем записать:

-54 = b1 * q^(7-1)
-54 = b1 * q^6 (4)

Возьмем отношение уравнений (3) и (4), чтобы избавиться от b1:

(-6) / (-54) = (b1 * q^4) / (b1 * q^6)
1/9 = q^2

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(q^2)^2 = (1/9)^2
q^4 = 1/81

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы найти знаменатель q:

q^4 = (1/81)^4
q^4 = 1/531441

Извлекаем корень четвертой степени:

q = ∛(1/531441)
q ≈ 0.2

Теперь, когда мы знаем знаменатель прогрессии q, мы можем найти первый член прогрессии b1 с помощью одного из уравнений:

-6 = b1 * q^4

Подставим значение q и решим уравнение:

-6 = b1 * (0.2)^4
-6 = b1 * 0.0016

Разделим обе части уравнения на 0.0016, чтобы найти b1:

b1 = -6 / 0.0016
b1 ≈ -3750

Теперь, имея знаменатель прогрессии q и первый член прогрессии b1, мы можем найти сумму первых 6 членов прогрессии с помощью формулы суммы геометрической прогрессии:

S = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

где S - сумма членов прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Подставим значения b1, q и n:

S = -3750 * (1 - 0.2^6) / (1 - 0.2)
S ≈ -3750 * (1 - 0.000064) / (0.8)
S ≈ -3750 * 0.999936 / 0.8
S ≈ -3750 * 1.24992
S ≈ -4687.5

Таким образом, сумма первых 6 членов данной геометрической прогрессии приближенно равна -4687.5.