Дана функция
f(x) = 1/3x^3 + 5x^2 - 1 Найдите координаты точек ее графика, в которых
касательные к нему параллельны оси абсцисс.

Чтобы найти координаты точек касания касательных к графику функции, параллельных оси абсцисс, нам нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю.

Данная функция имеет вид f(x) = 1/3x^3 + 5x^2 - 1.

Для нахождения производной функции f(x), мы используем правило дифференцирования степенной функции:
1) Дифференцирование первой части функции: 1/3x^3. Правило для дифференцирования x^n, где n - степень, гласит: d/dx(x^n) = n*x^(n-1). Применяя это правило, получаем: d/dx(1/3x^3) = (1/3)*3x^(3-1) = x^2.
2) Дифференцирование второй части функции: 5x^2. Применяя правило для дифференцирования x^n, получаем: d/dx(5x^2) = 5*2x^(2-1) = 10x.
3) В третьей части функции у нас есть константа -1, производная которой равна нулю.

Суммируем результаты:

f'(x) = x^2 + 10x

Теперь, чтобы найти точки касания касательных к графику функции, параллельных оси абсцисс, мы приравниваем производную f'(x) к нулю:

x^2 + 10x = 0

Факторизуем это уравнение:

x(x + 10) = 0

Из этого уравнения мы можем найти два значения x: x = 0 и x = -10.

Теперь подставляем найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

1) При x = 0:
f(0) = 1/3(0^3) + 5(0^2) - 1 = 0 - 0 - 1 = -1

Таким образом, точка касания касательной к графику функции параллельной оси абсцисс равна (0, -1).

2) При x = -10:
f(-10) = 1/3(-10^3) + 5(-10^2) - 1 = -1000/3 - 500 - 1 = -1000/3 - 501/1 = -1000/3 - 1503/3 = -2503/3

Таким образом, точка касания касательной к графику функции параллельной оси абсцисс равна (-10, -2503/3).

Итак, координаты точек графика функции, в которых касательные параллельны оси абсцисс, равны: (0, -1) и (-10, -2503/3).