Дана функция y=x⁴-2x²-8. Найти: а) Промежутки возрастания и убывания функции; б) Точки экстремума; в) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке -2; 2; г) Постройте график функции.

Для решения задачи по анализу функции y = x⁴ - 2x² - 8, начнём с поиска промежутков возрастания и убывания функции.

a) Промежутки возрастания и убывания функции:

1. Найдем производную функции y по переменной x. Производная функции позволяет нам определить, в каких интервалах функция возрастает или убывает.

y'(x) = 4x³ - 4x

2. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует.

4x³ - 4x = 0

3. Факторизуем левую часть уравнения:

4x(x² - 1) = 0

4. Найдем корни этого уравнения:

x = 0, x = -1, x = 1

5. Для анализа промежутков возрастания и убывания построим таблицу знаков производной:

-∞ | -1 | 0 | 1 | +∞
----------------------------------
y' | - | 0 | + | +

Из таблицы знаков можно сделать следующие выводы:
- Функция y возрастает на интервале (-∞, -1) и (1, +∞).
- Функция y убывает на интервале (-1, 0) и (0, 1).

Теперь перейдем к поиску точек экстремума.

б) Точки экстремума:

1. Найдем вторую производную функции y:

y''(x) = 12x² - 4

2. Найдем значения x, при которых вторая производная равна нулю:

12x² - 4 = 0

3. Решим это уравнение:

12x² = 4
x² = 4/12
x² = 1/3
x = ±√(1/3)

4. Для определения характера экстремума (минимум или максимум) используем вторую производную:

y''(√(1/3)) = 12(1/3) - 4 = 4 - 4 = 0
y''(-√(1/3)) = 12(1/3) - 4 = 4 - 4 = 0

Чтобы принять окончательное решение, проанализируем знаки второй производной на интервалах (-∞, -√(1/3)) и (-√(1/3), +∞):

-∞ | -√(1/3) | +√(1/3) | +∞
---------------------------------------
y'' | + | + | +

5. Из таблицы знаков видно, что в точках ±√(1/3) производная меняет знак с "+" на "-", поэтому эти точки являются точками экстремума.

Теперь перейдем к поиску наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [-2, 2].

в) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (-2, 2):

1. Найдем значения функции на концах отрезка:

y(-2) = (-2)⁴ - 2(-2)² - 8 = 16 - 8 - 8 = 0
y(2) = 2⁴ - 2(2)² - 8 = 16 - 8 - 8 = 0

2. Кроме того, нам уже известны точки экстремума ±√(1/3).

y(√(1/3)) = (√(1/3))⁴ - 2(√(1/3))² - 8 = 1/9 - 2/3 - 8 ≈ -8.222
y(-√(1/3)) = (-√(1/3))⁴ - 2(-√(1/3))² - 8 = 1/9 - 2/3 - 8 ≈ -8.222

Теперь мы знаем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке -2 ≤ x ≤ 2.

г) Построим график функции:

Для построения графика можно использовать полученную информацию о промежутках возрастания и убывания функции, точках экстремума и значениях функции на концах отрезка.

Выберем несколько значений x и найдем соответствующие значения y:

x = -3: y = (-3)⁴ - 2(-3)² - 8 = 81 - 18 - 8 = 55
x = -2: y = 0
x = -1: y = (-1)⁴ - 2(-1)² - 8 = 1 - 2 - 8 = -9
x = 0: y = 0
x = 1: y = (1)⁴ - 2(1)² - 8 = 1 - 2 - 8 = -9
x = 2: y = 0
x = 3: y = (3)⁴ - 2(3)² - 8 = 81 - 18 - 8 = 55

Теперь построим график, используя найденные значения:

^
|
55 __| . . . . . . . . . . . . .
| . .
| .
0 _|___.____.____.____.____.____.____.____._____.____
-3 -2 -1 0 1 2 3

На графике видно, что функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), убывает на интервалах (-1, 0) и (0, 1), и имеет точки экстремума при x = -√(1/3) и x = √(1/3). На отрезке [-2, 2] функция принимает наибольшее значение при x = -3 и x = 3 (y = 55), а наименьшее значение при x = -1 и x = 1 (y = -9).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло понять, как решить задачу на анализ функции. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать!