Дана функция f(z) =7z+6/z. Найти значение её производной в точке z0=1+2i

Хорошо, давайте начнем с определения производной функции. Производная функции описывает, как быстро меняется функция в каждой точке.

Первый шаг - выразить данную функцию f(z) в виде суммы двух слагаемых:

f(z) = 7z + 6/z

Разобьем функцию на две составляющие: первая - 7z и вторая - 6/z.

Теперь мы можем вычислить производные каждого из этих слагаемых по отдельности.

Для первой составляющей 7z мы просто применяем правило производной для линейной функции: если у нас есть функция вида f(x) = ax, где a - константа, то производная этой функции равна a. В данном случае a = 7, поэтому производная первой составляющей будет равна 7.

Теперь рассмотрим вторую составляющую 6/z. Чтобы найти производную этой функции, мы можем воспользоваться правилом производной для функции вида f(x) = 1/x. По этому правилу, производная f(x) = 1/x равна -1/x^2. В данном случае, наше значение x равно z, поэтому производная второй составляющей будет равна -6/z^2.

Теперь нам нужно просуммировать производные каждой составляющей.

Сумма производных будет равна:

7 + (-6/z^2) = 7 - 6/z^2

Теперь мы можем найти значение производной в точке z0 = 1 + 2i, подставив это значение в выражение для производной:

7 - 6/(1 + 2i)^2

Используем свойство вычисления квадрата комплексного числа:

(1 + 2i)^2 = 1^2 + 2(1)(2i) + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2

Заметим, что i^2 = -1, поэтому:

1 + 4i + 4(-1) = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i

Подставим это значение в выражение для производной:

7 - 6/(-3 + 4i)

Чтобы разделить дробь на комплексное число, нам нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

7(-3 - 4i) - 6(-3 + 4i)/((-3 + 4i)(-3 - 4i))

Упростим числитель:

-21 - 28i + 18 - 24i / (-3)^2 - (4i)^2

-3 - 52i / 9 + 16

Теперь можем делить числитель на знаменатель:

(-3 - 52i) / 25

И это будет конечный ответ. Теперь производная функции f(z) в точке z0 = 1 + 2i равна (-3 - 52i) / 25.