дан треугольник с вершинами ABC A(-5;-5) B(1;7) C(5;-1). Составьте уравнения стороны AB треугольника, медианы АК, Высоты ВД, расстояние от вершины С до стороны АВ, вычислить угол А​

Для составления уравнений стороны AB треугольника, медианы АК и высоты ВД нам потребуется использовать метод нахождения уравнения прямой по двум точкам и формулы для нахождения расстояния между точкой и прямой. 1. Уравнение стороны AB треугольника: Мы знаем координаты точек A(-5;-5) и B(1;7). Для составления уравнения прямой, проходящей через эти точки, воспользуемся методом нахождения уравнения прямой по двум точкам. Пусть уравнение стороны AB имеет вид y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - свободный член. Для нахождения m, подставим координаты точек A и B в уравнение: -5 = m(-5) + b => -5 = -5m + b => b = -5 + 5m 7 = m(1) + b => 7 = m + b Подставляем значение b из первого уравнения во второе и находим m: 7 = m + (-5 + 5m) => 7 = 6m - 5 => 12 = 6m => m = 2 Теперь, найдя m, можем определить b: 7 = 2 + b => b = 7 - 2 => b = 5 Таким образом, уравнение стороны AB треугольника имеет вид: y = 2x + 5 2. Уравнение медианы АК: Медиана АК - это отрезок, соединяющий вершину А треугольника с серединой стороны BC. Чтобы найти уравнение прямой, содержащей медиану АК, нам нужно найти координаты середины стороны BC. Координаты середины стороны BC можно найти с помощью формулы: x = (x₁ + x₂)/2, y = (y₁ + y₂)/2, где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек B(1;7) и C(5;-1) соответственно. Подставляем значения в формулу: x = (1 + 5)/2 = 3, y = (7 + (-1))/2 = 3/2 = 1.5 Таким образом, координаты середины стороны BC равны (3, 1.5). Теперь, для составления уравнения медианы АК используем метод нахождения уравнения прямой по двум точкам. Знаем координаты точек A(-5;-5) и (3, 1.5). Пусть уравнение медианы АК имеет вид y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - свободный член. Для нахождения m, подставим координаты точек A и (3, 1.5) в уравнение: -5 = m(-5) + b => -5 = -5m + b => b = -5 + 5m 1.5 = m(3) + b => 1.5 = 3m + b Подставляем значение b из первого уравнения во второе и находим m: 1.5 = 3m + (-5 + 5m) => 1.5 = 8m - 5 => 6.5 = 8m => m = 6.5/8 = 0.8125 Теперь, найдя m, можем определить b: 1.5 = 0.8125(3) + b => 1.5 = 2.4375 + b => b = 1.5 - 2.4375 => b ≈ -0.9375 Таким образом, уравнение медианы АК треугольника имеет вид: y ≈ 0.8125x - 0.9375 3. Уравнение высоты ВД: Высота ВД - это отрезок, проведенный из вершины B перпендикулярно стороне АС треугольника, проходящий через точку D на этой стороне. Чтобы найти уравнение прямой, содержащей высоту ВД, нам нужно найти координаты точки D и угловой коэффициент этой прямой. 1. По теореме Пифагора находим длину стороны AC: d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²], где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек A(-5;-5) и C(5;-1) соответственно. Подставляем значения в формулу: d = √[(5 - (-5))² + (-1 - (-5))²] = √[10² + 4²] = √(100 + 16) ≈ √116 ≈ 10.77 (округляем до двух знаков) 2. По формуле для нахождения площади треугольника через стороны находим площадь треугольника ABC: S = (1/2) * AB * h, где AB - сторона треугольника, а h - высота, проведенная к этой стороне. Подставляем значения: S = (1/2) * 10.77 * h, Знаем, что площадь треугольника ABC можно выразить через координаты его вершин, используя формулу: S = (1/2) * |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|, где (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃) - координаты вершин треугольника ABC. Подставляем значения в формулу: (1/2) * |(-5)(7 - (-1)) + (1)((-1) - (-5)) + (5)((-5) - 7)| = (1/2) * |(-5)(8) + (1)(4) + (5)(-12)| = (1/2) * |-40 + 4 - 60| = (1/2) * |-96| = (1/2) * 96 = 48. Таким образом, имеем уравнение: (1/2) * 10.77 * h = 48 => 5.385h = 48 => h ≈ 8.91 (округляем до двух знаков) 3. Находим координаты точки D: Так как точка D принадлежит стороне AC, то ее абсцисса равна xD = xC = 5. Теперь, чтобы найти ординату точки D (yD), воспользуемся уравнением стороны AB: y = 2x + 5, Подставляем x = 5: yD = 2(5) + 5 = 15. Таким образом, координаты точки D равны (5, 15). Теперь для составления уравнения высоты ВД используем метод нахождения уравнения прямой по двум точкам. Знаем координаты точек B(1;7) и (5,15). Пусть уравнение высоты ВД имеет вид y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - свободный член. Для нахождения m, подставим координаты точек B и (5,15) в уравнение: 7 = m(1) + b => 7 = m + b => b = 7 - m 15 = m(5) + b => 15 = 5m + b Подставляем значение b из первого уравнения во второе и находим m: 15 = 5m + (7 - m) => 15 = 4m + 7 => 8 = 4m => m = 8/4 = 2 Теперь, найдя m, можем определить b: 7 = 2(1) + b => 7 = 2 + b => b = 7 - 2 => b = 5 Таким образом, уравнение высоты ВД треугольника имеет вид: y = 2x + 5 4. Расстояние от вершины C до стороны AB: Для нахождения расстояния от точки С до стороны AB воспользуемся формулой: h = |Ax + By + C| / √(A² + B²), где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой AB (y = 2x + 5), Ax + By + C = 0. Сравним уравнение прямой AB с общим уравнением прямой: Ax + By + C = 0, где A = 2, B = -1 и C = -5. Подставим значения в формулу: h = |2(5) + (-1)(15) + (-5)| / √(2² + (-1)²) = |10 - 15 - 5| / √(4 + 1) = |-10| / √5 = 10 / √5 = 2√5 (расстояние от точки C до стороны AB). 5. Вычисление угла А: Угол А можно вычислить с помощью теоремы косинусов для треугольника ABC: cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc), где a, b и c - длины сторон треугольника ABC. Вычислим стороны треугольника ABC: a = BC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²], где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек B(1;7) и C(5;-1) соответственно. Подставляем значения в формулу: a = √[(5 - 1)² + ((-1) - 7)²] = √[16 + 64] = √80 = 4√5 (длина стороны BC). b = AC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²], где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек A(-5;-5) и C(5;-1) соответственно. Подставляем значения в формулу: b = √[(5 - (-5))² + (-1 - (-5))²] = √[10² + 4²] = √(100 + 16) = √116 ≈ 10.77 (округляем до двух знаков) (длина стороны AC). c = AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²], где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек A(-5;-5) и B(1;7) соответственно. Подставляем значения в формулу: c = √[(1 - (-5))² + (7 - (-5))²] = √[6² + 12²] = √(36 + 144) = √180 = 6√5 (длина стороны AB). Теперь подставим значения длин сторон в формулу для вычисления угла А: cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc) = (10.77² + (6√5)² - (4√5)²) / (2 * 10.77 * 6√5) = (116.4129 + 180 - 80) / (21.54 * 6√5) = 216.4129 / (21.54 * 6√5) ≈ 2.4045 / (√5 * 21.54) ≈ 0.2222. Находим значение угла А, используя обратную функцию косинуса: A = arccos(0.2222) ≈ 77.686° (округляем до трех знаков) Таким образом, угол А ≈ 77.686°.