Дан равнобедренный треугольник ABC , AB=BC=8 см , высота BH равна 4 см . Найдите окружности , описанной около треугольника

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах равнобедренного треугольника, а также о свойствах описанной окружности.

1. Свойства равнобедренного треугольника:
- В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, прилегающего к основанию, является высотой и медианой одновременно.
- Основание треугольника делит биссектрису на две равные части.
- Биссектриса угла, прилегающего к основанию, перпендикулярна к основанию и проходит через центр описанной окружности.
- Биссектриса угла, прилегающего к основанию, является симметричной осью равнобедренного треугольника.

2. Свойства описанной окружности:
- Описанная окружность равнобедренного треугольника проходит через вершины треугольника и центр описанной окружности лежит на симметричной оси равнобедренного треугольника.
- Радиус описанной окружности равен половине длины основания равнобедренного треугольника.

Теперь решим задачу:

Известно, что основание равнобедренного треугольника AB=8 см, а высота треугольника BH=4 см. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса угла, прилегающего к основанию, является симметричной осью равнобедренного треугольника. Значит, биссектриса HB также является высотой и медианой треугольника ABC.

Поскольку HB является медианой треугольника ABC, то она делит основание AC на две равные части. Так как AB=BC, то AC=2*AB=2*8=16 см. Значит, длина отрезков AH и HC равна 16/2=8 см.

Теперь рассмотрим треугольник HBH'. По свойству перпендикулярных линий, линия HH' перпендикулярна к горизонтальному отрезку BH.

Так как HB=HB' (по свойству равнобедренного треугольника) и BH=4 см, то треугольники HBH' и BCH являются равными (по двум катетам).
Значит, HC=HH'=8 см.

Теперь рассмотрим треугольник АСН, где HN - высота, проведенная из вершины А на основание AC.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АСН: AH^2 + HC^2 = AC^2.

Передадим значения: AH=8 см и HC=8 см.

Подставим значения в формулу:

8^2 + 8^2 = AC^2.

64 + 64 = AC^2.

128 = AC^2.

√128 = AC.

Раскладываем число 128 на простые множители: 128 = 2^7.

Сокращаем корень с радикала: √2^7 = 2^3√2.

Таким образом, AC = 8√2 см.

Определим радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен половине длины основания.
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника ABC равен AC/2 = 8√2/2 = 4√2 см.

Ответ: Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника ABC равен 4√2 см.