Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, точка М лежит на ребре АС, причём СМ : СА = 1 : 3. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости BC1D.​

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

1. Для начала, нарисуем параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и ребро AC, на котором лежит точка M.

A1______B1
/ /|
/_____ / |
D1 C1|
| | |
| B | |
|_____ | /
D C/

A______B

2. Затем, проведем линию CM, которая делит ребро AC в отношении 1 к 3. Пусть точка P - это точка пересечения линий CM и AD.

A1______B1
/ /|
/_____ / |
D1 C1|
P | | |
| B | |
|_____ | /
D C/

A______B

3. Построим плоскость, проходящую через точку M, параллельно плоскости BC1D. Для этого проведем прямую PM, которая будет параллельна ребру B1C1.

A1______B1
/ /|
/_____M/ |
D1 C1|
P | | |
| B | |
|_____ | /
D C/

A______B

4. Проведем прямые, параллельные ребрам ABCD параллелепипеда, через точки M и P, соединим соответствующие точки на других ребрах параллелепипеда. Обозначим эти точки как X, Y и Z.

Z______B1
/ /|
/_X____/ |
D1 C1|
P | /|
M| / |
| | | |
|___Y__| /
D C/

A______B

5. Теперь, проведем прямые через точки X, Y и Z, которые пересекут ребра AD, AB и CD параллелепипеда соответственно. Обозначим эти точки пересечения как E, F и G.

Z______B1
/ /|
/_X____/ |
D1 C1|
P | F/ |
M| / |
| | / | |
|___Y___| /
D E C/

A______B

6. Мы получили нужные нам точки пересечения. Теперь, проведем линии через эти точки, которые будут пересекать другие ребра параллелепипеда. Обозначим эти точки пересечения как H, I и J.

H___________
/| /|
Z/_|____X____/ |
/ D1 C1/ |
P | F/ |
M | I/ |
|/ | / | |
J___Y____G___| /
/ D E C/
/ A______B

7. Проведем линии через точки H, I и J, которые пересекут ребра B1D1, B1C1 и C1D1 параллелепипеда соответственно. Обозначим эти точки пересечения как K, L и N.

H___________
/| /|
Z/_|____X____/ |
/ D1K C1L |
P | FN |
M | I/ |
|/ | / | |
J___Y____G___| /
/ D E C/
/ A______B

8. Проведем линии через точки K, L и N, которые пересекут ребра A1B1, A1D1 и B1C1 параллелепипеда соответственно. Обозначим эти точки пересечения как M1, M2 и M3.

H___________
/| /|
Z/_|____X____/ |
/ D1K C1L |
P | FN |
M | I/ |
|/ | / | |
J___Y___G_M3_| /
/ D EM2C/
/ A______BM1

9. Проконтролируем результат: полученная линия может рассматриваться как сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости BC1D.

Итак, сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости BC1D, выглядит так:

H___________
/| /|
Z/_|____X____/ |
/ D1K C1L |
P | FN |
M | I/ |
|/ | / | |
J___Y___G_M3_| /
/ D EM2C/
/ A______BM1