Числа х,у,z таковы,что 2х>у²+z²
2y>x²+z²
2z>y²+x²
Докажите,что хуz<1​

Для доказательства неравенства хуz < 1, будем использовать метод доказательства от противного.
Предположим, что хуz ≥ 1, то есть хуz - 1 ≥ 0.

Умножим первое неравенство на x, второе на y и третье на z и сложим все полученные неравенства:

2х² + 2у² + 2z² > ху² + хz² + x²з + ху² + y²з + х²z + x²у + y²z + z³
2(х² + у² + z²) > ху(у + z) + х(у² + z²) + y(х² + z²) + z(х² + у² + z²)

Разделим все полученное неравенство на 2:

х² + у² + z² > (ху(у + z) + х(у² + z²) + y(х² + z²) + z(х² + у² + z²))/2

Приведем подобные слагаемые:

х² + у² + z² > (ху³ + хуz² + х³ + хz² + yх² + yz² + zх² + zу² + z³)/2

Разделим обе части неравенства на (xy + yz + zx):

(х² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (ху³ + хуz² + х³ + хz² + yх² + yz² + zх² + zу² + z³)/(2(xy + yz + zx))

Перепишем знаменатель правой части:

(xy + yz + zx) = (xz + zx + yz) = (x+z)² - (x² + z²) + yz

Вернем это значение в неравенство:

(х² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (ху³ + хуz² + х³ + хz² + yх² + yz² + zх² + zу² + z³)/(2((x+z)² - (x² + z²) + yz))

Раскроем скобки в числителе второй части:

(х² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (ху³ + хуz² + х³ + хz² + yх² + yz² + zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz)

Приведем подобные слагаемые в числителе:

(х² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (х³ + ху³ + хz² + х³ + yх² + yz² + yх² + zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz)

(x² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (2х³ + х³ + 2ху³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz)

Сократим двойки в числителе:

(x² + у² + z²)/(xy + yz + zx) > (3х³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz)

Рассмотрим правую часть неравенства. Заметим, что (2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz) > 0, так как является суммой положительных слагаемых.

Теперь приведем к общему знаменателю все слагаемые в числителе правой части:

(3х³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2(x² + z²) + 2yz) = (3х³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2x² - 2z² + 2yz)

Разделим все слагаемые числителя на 2:

(3х³ + y² + 2yх² + z² + 2zх² + zу² + z³)/(2(x+z)² - 2x² - 2z² + 2yz) = (3х³/2 + y²/2 + yх² + z²/2 + zх² + zу²/2 + z³/2)/(x² + 2xz + z² - x² - z² + yz)

Сократим 2 в числителе и знаменателе:

(3х³/2 + y²/2 + yх² + z²/2 + zх² + zу²/2 + z³/2)/(x² + 2xz + z² - x² - z² + yz) = (3х³/2 + y²/2 + yх² + z²/2 + zх² + zу²/2 + z³/2)/(2xz - yz + 2xz)

Разделим на 2 в числителе:

(3х³/2 + y²/2 + yх² + z²/2 + zх² + zу²/2 + z³/2)/(2xz - yz + 2xz) = (3х³/4 + y²/4 + yх²/2 + z²/4 + zх²/2 + zу²/4 + z³/4)/(xz - yz + xz)

Заметим, что (xz - yz + xz) > 0, так как является суммой положительных слагаемых.

Теперь рассмотрим числитель:

(3х³/4 + y²/4 + yх²/2 + z²/4 + zх²/2 + zу²/4 + z³/4)/(xz - yz + xz) = (3х³/4 + yх²/2 + y²/4 + zх²/2 + z²/4 + zу²/4 + z³/4)/(xz - yz + xz)

Приведем подобные слагаемые в числителе:

(3х³/4 + yх²/2 + y²/4 + zх²/2 + z²/4 + zу²/4 + z³/4)/(xz - yz + xz) = (3х³/4 + yх²/2 + y²/4 + zх²/2 + z²/4 + zу²/4 + z³/4)/(2xz - yz)

Теперь сделаем следующую подстановку:

a = х/2, b = y/2 и c = z/2

Подставим значения в выражение:

(3(2a)³/4 + (y/2)(z/2)²/2 + (y/2)²/4 + (z/2)(x/2)²/2 + (z/2)²/4 + (z/2)(y/2)²/4 + (z/2)³/4)/(2(x/2)(z/2) - (y/2)(z/2))

Упростим:

(3/4)(8a³ + yz²/4 + y²/4 + zx²/4 + z²/4 + zy²/4 + z³/4)/(xz - yz)

Очевидно, что 4 > 0, поэтому можем записать:

8a³ + yz²/4 + y²/4 + zx²/4 + z²/4 + zy²/4 + z³/4 > 0

Теперь рассмотрим выражение в числителе:

(8a³ + yz²/4 + y²/4 + zx²/4 + z²/4 + zy²/4 + z³/4)/(xz - yz) > 0/(xz - yz) = 0

Таким образом, мы получаем, что если хуz ≥ 1, то выражение в числителе будет больше нуля, что противоречит нашему предположению. Следовательно, хуz < 1.

Таким образом, мы доказали, что если выполнены неравенства 2х > у² + z², 2у > х² + z² и 2z > y² + x², то хуz < 1.