Чи існують такі натуральні числа a, b і c, що у кожного з рівнянь ax2+bx+c = 0, ax2+bx–c = 0, ax2–bx+c = 0, ax2–bx–c = 0 обидва кореня – цілі?

Предположим, что такие числа существуют. Корни всех четырех уравнений имеют вид x1 = (-b - √D)2a и x2 = (-b +√D)/2a. Вычтем из одного корня второй: x2 - x1 = (-b+√D+b+√D)/2a = 2√D/2a = √D/a. По предположению, т. к. оба корня целые, √D/a также целое число. Дискриминант двух уравнений ax^2+bx+c и ax^2-bx+c равен D1 = b^2-4ac, а двух других уравнений ax^2+bx-c и ax^2-bx-c равен D2 = b^2 + 4ac. Положим √D1 = k*a и √D2 = m*a, где k и m - натуральные. Тогда имеем D1 = k^2a^2, а D2 = m^2a^2. Составим сумму четырех дискриминантов уравнений: 2D1 + 2D2 = 2(b^2-4ac) + 2(b^2+4ac) = 2b^2 + 2b^2 = 4b^2 = 2k^2a^2 + 2m^2a^2 = 2a^2(k^2 + m^2) или 2b^2 = a^2(k^2 + m^2). Отсюда видно, что условием является a = b и k = m = 1. Предположим, что это так. Тогда b^2 - 4ac = k^2a^2 = > b^2 - 4bc = b^2 => -4bc = 0 => c = 0, но это невозможно, поскольку с - натуральное. Точно так же, если b^2 + 4ac = m^2a^2 = > b^2 -+ 4bc = b^2 => 4bc = 0 => c = 0. Следовательно, приходим к противоречию и таких чисел не существует.

ответ: Не существует.