Через вершину С квадрата ABCD проведена прямая МС, которая перпендикулярна плоскости квадрата.

1) Докажите, что прямые ВD м МО перпендикулярны, где

О – точка пересечения диагоналей.

2) Вычислите расстояние от точки М до прямой ВD, если

МС = 1 см, СD = 4 см.

2. Концы отрезка, длина которого равна 5√5 см, принадлежат двум взаимно перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов этого отрезка до линии пересечения плоскостей равны 5 см и 8 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.

3. Через вершину D прямоугольника АВСD к его плоскости проведен перпендикуляр DЕ. Точка Е удалена от стороны АВ на 10 см, а от стороны ВС – на 17 см. Найдите длину диагонали ВD, если ЕD = 8 см

Скинь фото задачи с учебника

1) Для доказательства перпендикулярности прямых ВD и МО, используем следующие утверждения:
а) Диагональ квадрата равна его стороне, так как образует прямоугольный треугольник с другими сторонами, равными длине стороны квадрата.
б) Перпендикулярные прямые в плоскости пересечения составляют прямой угол.
в) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, проходящей через точку их пересечения, то они перпендикулярны между собой.

Исходя из этих утверждений, можем сделать такие выводы:
- Прямая МС является высотой квадрата ABCD и проходит через его вершину С. Так как МС перпендикулярна плоскости квадрата (задано в условии), то точка М является основанием высоты.
- Точка О – пересечение диагоналей квадрата. Поскольку О лежит на прямой МС, то прямая ОМ является высотой квадрата ABCD.
- Прямые МС и ОМ, проходящие через общую точку О, перпендикулярны прямой ВD, так как оба перпендикулярны плоскости квадрата. Следовательно, прямые ВD и МО также перпендикулярны между собой.

2) Для вычисления расстояния от точки М до прямой ВD, воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике ВМD:
VD^2 = VM^2 + MD^2,
VD – искомое расстояние, MD = CD – MC = 4 см – 1 см = 3 см, VM = CM = MC = 1 см.
Подставляя известные значения, получаем:
VD^2 = (1 см)^2 + (3 см)^2 = 1 см^2 + 9 см^2 = 10 см^2.
Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получаем:
VD = √(10 см^2) = √10 см.

3) Сначала найдем длины сторон прямоугольника АВСD. Обозначим длину стороны АВ как х, а длину стороны ВС как у.
Из условия: ЕD = 8 см, AE = 10 см и BE = у - 17 см.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АЕD:
AD^2 = AE^2 + ED^2,
AD^2 = (10 см)^2 + (8 см)^2 = 100 см^2 + 64 см^2 = 164 см^2.
Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получаем:
AD = √164 см.

Затем рассмотрим прямоугольный треугольник ВЕD.
BD^2 = BE^2 + ED^2,
BD^2 = (у - 17 см)^2 + (8 см)^2 = (y^2 - 34y + 289) см^2 + 64 см^2 = y^2 - 34y + 353 см^2.
Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получаем:
BD = √(y^2 - 34y + 353) см.

Таким образом, расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей, равно AD - BD:
AD - BD = √164 см - √(y^2 - 34y + 353) см.