Через точку пересечения прямых 3x - 2y + 1 = 0 и x + 3y - 7 = 0 проведена прямая перпендикулярно первой из данных прямых. Каково расстояние полученной прямой от начала координат ?

Добрый день! Конечно, я готов ответить на ваш вопрос.

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится некоторый базовый знания о прямых и перпендикулярах, а также некоторые формулы.

Даны уравнения двух прямых: 3x - 2y + 1 = 0 и x + 3y - 7 = 0. Нам нужно найти прямую, которая проходит через точку пересечения этих прямых и перпендикулярна первой прямой.

1. Начнем с нахождения точки пересечения этих двух прямых. Для этого решим систему уравнений:
3x - 2y + 1 = 0 (Уравнение 1)
x + 3y - 7 = 0 (Уравнение 2)

Решим систему уравнений. Приведем уравнение 1 к виду y = mx + c:
3x - 2y + 1 = 0 | -3x
-2y = -3x - 1 | : (-2)
y = (3/2)x + 1/2 (Уравнение 3)

Теперь подставим уравнение 3 в уравнение 2 и решим его относительно x:
x + 3(3/2)x + 3/2 - 7 = 0 | приведем подобные
x + (9/2)x - 5/2 = 0 | умножим все на 2, чтобы избавиться от дробей
2x + 9x - 5 = 0 | сложим члены с x
11x - 5 = 0 | +5
11x = 5 | : 11
x = 5/11

Теперь подставим найденное x в уравнение 3 и найдем y:
y = (3/2)(5/11) + 1/2 | умножим и сложим дроби
y = 15/22 + 11/22 | сложим дроби
y = 26/22 | упростим дробь
y = 13/11

Таким образом, точка пересечения данных прямых имеет координаты (5/11, 13/11).

2. Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку пересечения и перпендикулярной первой прямой.

Чтобы найти уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой, мы знаем, что произведение их коэффициентов наклона должно быть равно -1. Коэффициент наклона первой прямой равен 3/2 (поскольку уравнение прямой имеет вид y = mx + c, где m - коэффициент наклона).

Таким образом, коэффициент наклона искомой прямой будет -2/3 (дополняем произведение наклонов до -1).

Уравнение прямой, перпендикулярной первой прямой и проходящей через точку пересечения, будет иметь вид y = (-2/3)x + b, где b - y-пересечение, которое нужно найти.

Подставим координаты точки пересечения в это уравнение и найдем b:
13/11 = (-2/3)(5/11) + b | умножим и сложим дроби
13/11 = -10/33 + b | приведем подобные
13/11 = -10/33 + b | найдем общий знаменатель
13/11 = -10/33 + (3/3)b | найдем общий знаменатель
13/11 = ( -10 + 3b ) / 33

Теперь избавимся от дроби в левой части уравнения:
13/11 = ( -10 + 3b ) / 33 | умножим обе части на 33
13 * 33 = -10 + 3b
429 = -10 + 3b | +10
439 = 3b | :3
b = 439/3

Таким образом, y-пересечение искомой прямой равно 439/3.

3. Теперь, когда у нас есть уравнение прямой, проходящей через точку пересечения и перпендикулярной первой прямой, мы можем найти расстояние этой прямой от начала координат.

Расстояние от начала координат до произвольной точки (x, y) на плоскости можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками:
d = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2)

Если точка (0, 0) - начало координат, а (x, y) - точка на искомой прямой, то формула примет следующий вид:
d = sqrt((0 - x)^2 + (0 - y)^2)

Подставим координаты точки пересечения в формулу и найдем расстояние:
d = sqrt((0 - 5/11)^2 + (0 - 13/11)^2) | найдем разности
d = sqrt((-5/11)^2 + (-13/11)^2) | возводим в квадрат и складываем
d = sqrt(25/121 + 169/121)
d = sqrt(194/121) | найдем квадратный корень
d = sqrt(194) / sqrt(121) | упростим под корнем
d = 2 * sqrt(97) / 11

Таким образом, расстояние полученной прямой от начала координат равно 2 * sqrt(97) / 11.

Это подробное решение поможет вам понять алгоритм решения задачи и использовать его для решения похожих задач. Если у вас возникнут вопросы, пожалуйста, задавайте!