Через диагональ основания и вершину B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость, удаленная от вершины B на расстояние, равное 2,4 найдите объем параллелепипеда, если AB=6, BC=2,4 корень из 5

Для того чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать понятие проекции точки на прямую.

Для начала, обратимся к первой части задачи - проведению плоскости через диагональ основания AD и вершину B1. Здесь нам важно отметить, что плоскость AD и вершина B1 задают прямую. Плоскость, удаленная от вершины B на определенное расстояние, будет пересекать эту прямую в определенной точке. Таким образом, для определения объема параллелепипеда, нам необходимо найти положение плоскости.

Для начала рассмотрим треугольник ABC. Зная сторону AB=6 и сторону BC=2,4√5, мы можем найти его площадь. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника S = 0,5 * a * b * sin(C), где a и b - стороны треугольника, а C - угол между этими сторонами.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, угол С будет прямым. Поэтому sin(C) = 1. Тогда площадь треугольника ABC равна S = 0,5 * 6 * 2,4√5 = 7,2√5.

Теперь давайте рассмотрим плоскость, проходящую через диагональ основания AD и вершину B1. Обозначим эту плоскость как P.

Заметим, что сторона AB параллелепипеда и его диагональ AD являются плоскостью и прямым соответственно. Таким образом, плоскость P будет пересекать сторону AB в некоторой точке B'.

Аналогично, плоскость P будет пересекать противоположную сторону A1D1 в точке D'.

Теперь давайте рассмотрим треугольник B'A1D'. У него сторона B'A' будет равна AB, а сторона B'D' будет равна AD. Мы знаем, что площадь треугольника B'A1D' равна 7,2√5 (полученная ранее). Давайте обозначим угол между сторонами B'A' и B'D' как α.

Так как площадь треугольника B'A1D' равна S = 0,5 * B'A' * B'D' * sin(α), мы можем найти sin(α). Для этого разделим обе части уравнения на B'A' * B'D' и получим sin(α) = 2S/(B'A' * B'D'). Подставим значения и получим sin(α) = 2 * 7,2√5 / (6 * AD).

Далее обратимся к треугольнику BAD. У него сторона BA равна 6, а сторона AD - это диагональ основания, то есть 2,4√5.

Найдем sin(α/2) применив формулу sin(α/2) = √((1 - cos(α)) / 2). Подставим значение sin(α) и найдем sin(α/2) = √((1 - cos(α)) / 2) = √((1 - √(1 - sin^2(α))) / 2).

Теперь, используя полученные значения sin(α) и sin(α/2), найдем длину отрезка B'B1, который является проекцией диагонали AD на прямую AB.

Для этого воспользуемся формулой проекции точки на прямую: проекция = длина_отрезка * sin(α/2). Подставим значения и найдем длина отрезка B'B1 = 6 * √((1 - √(1 - sin^2(α))) / 2).

Следующим шагом будет найти расстояние от точки B до плоскости P. Мы знаем, что это расстояние равно 2,4. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение: 6 * √((1 - √(1 - sin^2(α))) / 2) = 2,4.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно sin(α). Для этого возведем обе части уравнения в квадрат: 6^2 * ((1 - √(1 - sin^2(α))) / 2) = 2,4^2.

Раскроем скобки и упростим уравнение: 36 * ((1 - √(1 - sin^2(α))) / 2) = 5,76.

Далее упростим выражение и получим 1 - √(1 - sin^2(α)) = 5,76 / 36, что равно 0,16.

Выразим sin^2(α): √(1 - sin^2(α)) = 1 - 0,16, отсюда sin^2(α) = 0,84.

Извлекаем квадратный корень из sin^2(α) = 0,84 и получаем sin(α) = √0,84.

Зная sin(α) и используя ранее полученный результат sin(α) = 2 * 7,2√5 / (6 * AD), мы можем найти значение AD.

Решаем уравнение sin(α) = 2 * 7,2√5 / (6 * AD) относительно AD, подставляем значение sin(α) = √0,84 и находим AD = 4√5 / √0,84.

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем найти объем параллелепипеда.

Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты. Мы уже знаем, что стороны BC = 2,4√5 и AB = 6, а высота AD = 4√5 / √0,84. Подставим значения и получим объем параллелепипеда V = BC * AB * AD = 2,4√5 * 6 * 4√5 / √0,84.

Теперь остается только упростить полученное выражение и вычислить значение объема параллелепипеда.