Целые числа a и b таковы, что у квадратных трёхчленов x2+ax+b и x2+bx+1100 есть общий корень, являющийся простым числом. Найдите a. Укажите все возможные варианты.

364 или 1100

Пошаговое объяснение:

У данных квадратных трехчленов равны старшие коэффициенты. Дискриминант первого трехчлена равен a*a-4b, второго b*b-4400. Чтобы у них был общий корень составим уравнение и решим его

a*a-4b=b*b-4400

a*a=b*b+4b-4400

a*a+4400=b*b+4b

a*a+4404=b*b+4b+4

a*a+4404=(b+2)(b+2)

4404=(b+2)(b+2)-a*a

4404=(b+2-a)(b+2+a)

Разность этих двух скобок равна (b+2-a)-(b+2+a)=2a. По условию a - целое число, поэтому 2a - точно четное число. Значит, обе скобки одной четности. Их произведение 4404 четно, следовательно оба множителя четны.  

Далее надо разложить 4404 на простые множители: 4404=2*2*3*367. Его можно разложить в произведение двух четных чисел двумя или 6*734.

Разберем первый случай.

2*2202=(b+2-a)(b+2+a)

b+2-a=2 и b+2+a=2202

(b+2+a)-(b+2-a)=2a

(b+2+a)-(b+2-a)=2202-2=2200

2a=2200

a=1100

Разберем второй случай.

6*734=(b+2-a)(b+2+a)

b+2-a=6 и b+2+a=734

(b+2+a)-(b+2-a)=2a

(b+2+a)-(b+2-a)=734-6=728

2a=728

a=364

Итого возможны два ответа: 364 и 1100.