Целые числа a, b, c таковы, что ab + bc + ca = 0. докажите, что число abc можно представить в виде произведения квадрата целого числа

Question

Математика: Целые числа a, b, c таковы, что ab + bc + ca = 0. докажите, что число abc можно представить в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа.

кисуня17 · Answer

Возьмём какое-нибудь простое число m такое, что m^n

является делителем числа c. Простые числа - это числа, у которых делитель 1 и они сами.
Перепишем наше равенство
ab = -c(a+b)

Отсюда следует, что так как c делится на m^n

, то и какое-либо число слева от знака равенства(a или b) должно делиться на m^n

, а другое на делиться на m. Отсюда у числа abc возникает делитель $m^{2n}$ , то есть квадрат целого числа. Если мы будем аналогично рассуждать про каждое число, то мы увидим, что полученное число m будет входить всегда в четной степени. То есть мы получим: $abc = m^{2n}a_1b_1c_1$ , аналогично для новых чисел

, если они будут иметь общий делитель, то он войдёт в произведение в кубе.

Целые числа a, b, c таковы, что ab + bc + ca = 0. докажите, что число abc можно представить в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа.

Популярные вопросы