аудиторную работу по теории вероятности успешно выполнило 50% студентов. найти вероятность того, что из 400 студентов успешно выполнят менее 180 студентов.

Добрый день! Давайте решим эту задачу по теории вероятности.

У нас есть информация, что 50% студентов успешно выполнили аудиторную работу по теории вероятности. Это означает, что вероятность успеха для одного случайно выбранного студента равна 0.5 (или 50%).

Для нахождения вероятности того, что из 400 студентов успешно выполнят менее 180 студентов, мы можем воспользоваться биномиальным распределением.

Биномиальное распределение применяется, когда у нас есть серия независимых испытаний с двумя возможными результатами (успех или неудача), и мы хотим узнать вероятность определенного числа успехов в этих испытаниях.

Давайте обозначим вероятность успеха для одного студента как p = 0.5, и количество студентов, которые успешно выполнят работу, как X. Тогда мы хотим найти вероятность P(X < 180), то есть вероятность того, что количество успешных студентов будет меньше 180.

Мы можем воспользоваться нормальной аппроксимацией биномиального распределения, так как у нас большое число испытаний (400 студентов).

Для применения нормальной аппроксимации мы должны использовать среднее значение и стандартное отклонение, которые можно вычислить по формулам:
- Среднее значение (μ) = n * p
- Стандартное отклонение (σ) = sqrt(n * p * (1 - p))

где n - количество испытаний (400), p - вероятность успеха (0.5), sqrt(x) обозначает квадратный корень из x.

Давайте подставим значения в формулы:

Среднее значение (μ) = 400 * 0.5 = 200
Стандартное отклонение (σ) = sqrt(400 * 0.5 * (1 - 0.5)) = sqrt(200 * 0.5) = sqrt(100) = 10

Теперь мы приведем наше биномиальное распределение к нормальному распределению, используя найденные значения среднего значения и стандартного отклонения:

P(X < 180) = P(Z < (180 - 200) / 10)

где Z - стандартизованная случайная величина. Для вычисления этой вероятности мы можем использовать таблицы стандартного нормального распределения или калькулятор, чтобы найти соответствующее значение.

Из таблицы стандартного нормального распределения или калькулятора мы можем найти, что значение P(Z < -2) составляет приблизительно 0.0228.

Таким образом, вероятность того, что из 400 студентов успешно выполнят менее 180 студентов, равна приблизительно 0.0228 или 2.28%.

Для закрепления материала, позвольте мне проверить ваше понимание. Вы должны решить следующую задачу самостоятельно:

Допустим, 70% студентов сдали экзамен по математике. Какова вероятность того, что из 500 студентов более 400 сдали экзамен?

Подумайте над решением задачи, используя те же шаги и формулы, которые мы только что применили к предыдущей задаче. Если у вас возникнут затруднения, я буду рад помочь вам.