Ат. вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = 1/2x^2 , y = 0, х = 3;
б) у = -х^2 – 2x, y = 0;
в) у = sin x, y = 0, х =
г) у = y = 0, х = -2, x=-1.
д) у = -х^2 + 2 иу =-x

Добрый день! Рад помочь вам с решением задачи.

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = 1/2x^2, y = 0 и х = 3, мы должны найти площадь под кривой у = 1/2x^2 от x = 0 до x = 3 и вычесть площадь прямоугольника со сторонами х = 0 и х = 3.

Шаг 1: Найдем площадь под кривой у = 1/2x^2 от x = 0 до x = 3.
Для этого используем интеграл. Подставим у = 1/2x^2 в формулу для нахождения площади под графиком функции:

S = ∫(a до b) funс(x) dx,

где a и b - границы интегрирования, funс(x) - функция.

Интегрируя у = 1/2x^2, получим:
S = ∫(0 до 3) 1/2x^2 dx.

Решим этот интеграл:
S = (1/2) * ∫(0 до 3) x^2 dx.
S = (1/2) * [x^3/3] (0 до 3).
S = (1/2) * [(3^3/3) - (0^3/3)].
S = (1/2) * [(27/3) - (0/3)].
S = (1/2) * [(27/3)].
S = (1/2) * 9.
S = 4.5.

Шаг 2: Найдем площадь прямоугольника со сторонами х = 0 и х = 3.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
S = (3 - 0) * (0 - 0).
S = 3 * 0.
S = 0.

Шаг 3: Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями, путем вычитания площади прямоугольника из площади под кривой:
Sфигуры = Sпод кривой - Sпрямоугольника.
Sфигуры = 4.5 - 0.
Sфигуры = 4.5.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/2x^2, y = 0 и х = 3, равна 4.5 квадратных единиц.

б) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = -х^2 – 2x, y = 0, мы также должны найти площадь под кривой у = -х^2 – 2x от x = -бесконечность до x = +бесконечность и вычесть площадь прямоугольника со сторонами х = -бесконечность и х = +бесконечность.

Шаг 1: Найдем площадь под кривой у = -х^2 – 2x от x = -бесконечность до x = +бесконечность.
Для этого также используем интеграл. Подставим у = -х^2 – 2x в формулу для нахождения площади под графиком функции:

S = ∫(a до b) funс(x) dx,

где a и b - границы интегрирования, funс(x) - функция.

Интегрируя у = -х^2 – 2x, получим:
S = ∫(-бесконечность до +бесконечность) -х^2 – 2x dx.

Решить этот интеграл сложнее, так как он более общий и требует специальных интегральных методов. Я могу продолжить решение, используя метод полного квадрата, но это может быть сложно для понимания школьником. Можете ли вы уточнить, хотите ли вы, чтобы я продолжил решение с использованием метода полного квадрата?

в) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = sin x, y = 0 и х = с ?, нам нужно найти площадь под кривой у = sin x от x = с ? до x = ?, где с ? - конкретное число, которое не указано в вопросе. Пожалуйста, уточните, какое значение имеет с ?, чтобы я мог продолжить решение.

г) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = y = 0, х = -2 и х = -1, мы должны найти площадь прямоугольника со сторонами х = -2 и х = -1.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
S = (-1 - (-2)) * (0 - 0).
S = (1) * (0).
S = 0.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = y = 0, х = -2 и х = -1, равна 0 квадратных единиц.

д) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями у = -х^2 + 2 и у = -x, нам нужно найти точки пересечения этих двух функций и вычислить площадь между ними.

Для начала найдем точки пересечения у = -х^2 + 2 и у = -x:

-х^2 + 2 = -x.

Перенесем все в левую часть уравнения и приведем его к квадратному виду:

-х^2 + x + 2 = 0.

Факторизуем это квадратное уравнение или используем квадратное уравнение следующим образом:

x1,2 = (-b +- √D) / 2a,

где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения, а D - дискриминант.

В данном случае a = -1, b = 1 и c = 2.

D = b^2 - 4ac.
D = 1^2 - 4*(-1)*2.
D = 1 + 8.
D = 9.

x1,2 = (-1 +- √9) / 2*(-1).

Таким образом, получаем два значения x1 и x2:

x1 = (-1 + √9) / -2.
x1 = (-1 + 3) / -2.
x1 = 2 / -2.
x1 = -1.

x2 = (-1 - √9) / -2.
x2 = (-1 - 3) / -2.
x2 = -4 / -2.
x2 = 2.

Теперь, когда мы нашли точки пересечения, мы знаем, что наша фигура ограничена отрезком [-1, 2]. Для нахождения площади фигуры считаем разность площадей под кривыми у = -х^2 + 2 и у = -x в пределах от -1 до 2:

Sфигуры = Sпод у = -х^2 + 2 - Sпод у = -x.
Sфигуры = ∫(-1 до 2) (-х^2 + 2) dx - ∫(-1 до 2) (-x) dx.

1) Считаем интеграл ∫(-х^2 + 2) dx:
Sпод у = -х^2 + 2 = (-1/3)х^3 + 2х + C.

2) Считаем интеграл ∫(-x) dx:
Sпод у = -x = (-1/2)х^2 + C.

Теперь вычислим площади под кривыми в пределах от -1 до 2:

Sпод у = -х^2 + 2: (-(1/3)*2^3 + 2*2) - (-(1/3)*(-1)^3 + 2*(-1)).
Sпод у = -х^2 + 2: (-(8/3) + 4) - (-(1/3) - 2).
Sпод у = -х^2 + 2: (-8/3 + 12/3) - (-1/3 - 6/3).
Sпод у = -х^2 + 2: (4/3) - (-7/3).
Sпод у = -х^2 + 2: (4/3 + 7/3).
Sпод у = -х^2 + 2: 11/3.

Sпод у = -x: (-(1/2)*2^2) - (-(1/2)*(-1)^2).
Sпод у = -x: (-2) - (-(1/2)).
Sпод у = -x: (-2 + 1/2).
Sпод у = -x: (-4/2 + 1/2).
Sпод у = -x: (-3/2).

Теперь находим разность площадей:

Sфигуры = (11/3) - (-3/2).

Для простоты расчетов, найдем общий знаменатель и приведем дроби к нему:

Sфигуры = (22/6) - (-9/6).

Теперь находим разность площадей:

Sфигуры = (22 + 9) / 6.

Sфигуры = 31 / 6.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х^2 + 2 и у = -x, равна 31/6 квадратных единиц.