ABCDA1B1C1D1 - куб с ребром 3. Найдите расстояние от точки B до плоскости DEK где E - середина C1D1, K - середина A1D1

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать понятие вектора и плоскостей в трехмерном пространстве.

1) Найдем координаты точек E и K:

Так как E - середина C1D1, то мы можем найти ее координаты как среднее арифметическое координат точек C1 и D1.
C1 имеет координаты (1, -2, -2), а D1 имеет координаты (1, 1, -1).
Поэтому координаты E будут ((1 + 1)/2, (-2 + 1)/2, (-2 - 1)/2) = (1, -1.5, -1.5).

Аналогично, K - середина A1D1. Следовательно, координаты точки K будут ((-1 + 1)/2, (-2 + 1)/2, (-2 - 1)/2) = (0, -1.5, -1.5).

2) Теперь найдем вектор нормали плоскости DEK. Для этого вычислим векторное произведение двух векторов, которые лежат в плоскости DEK.

Вектор DE: D1 - E = (1, 1, -1) - (1, -1.5, -1.5) = (0, 2.5, 0.5).
Вектор DK: K - D1 = (0, -1.5, -1.5) - (1, 1, -1) = (-1, -2.5, -0.5).

Теперь найдем векторное произведение векторов DE и DK:
DE × DK = (2.5*(-0.5) - 0.5*(-2.5), 0.5*(-1) - 2.5*0, -0.5*(-1) - (-2.5)*0.5) = (1.25 - (-1.25), -0.5, 1.25 + 1.25) = (2.5, -0.5, 2.5).

3) Нормализуем вектор DE × DK, чтобы получить вектор нормали плоскости DEK. Нормализация вектора производится путем деления каждой его координаты на длину вектора.

Длина вектора DE × DK: √((2.5)^2 + (-0.5)^2 + (2.5)^2) = √((6.25 + 0.25 + 6.25)) = √(12.75) = 3.57 (округляя до двух знаков после запятой).

Теперь нормализуем вектор: (2.5/3.57, -0.5/3.57, 2.5/3.57) = (0.7, -0.14, 0.7).

4) Теперь у нас есть точка B и вектор нормали плоскости DEK. Используя формулу для расстояния между точкой и плоскостью, найдем расстояние от точки B до плоскости DEK.

Формула расстояния от точки до плоскости: d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2), где (A, B, C) - координаты вектора нормали плоскости, (x, y, z) - координаты точки B, D - координата точки на плоскости, например, E.

В нашей задаче A = 0.7, B = -0.14, C = 0.7, D = E = (1, -1.5, -1.5).

Расстояние от точки B до плоскости DEK будет:
d = |0.7*x - 0.14*y + 0.7*z + (0.7*1 - 0.14*(-1.5) + 0.7*(-1.5))| / √(0.7^2 + (-0.14)^2 + 0.7^2) = |0.7*x - 0.14*y + 0.7*z + 0.7 + 0.315 - 1.05| / √(0.49 + 0.0196 + 0.49) = |0.7*x - 0.14*y + 0.7*z + (-0.035)| / 0.84.

Теперь подставим координаты точки B в полученную формулу расстояния, чтобы найти итоговый ответ:

d = |0.7*1 - 0.14*1 + 0.7*(-2)| / 0.84 = |0.7 - 0.14 - 1.4| / 0.84 = |-0.84| / 0.84 = 1.

Итак, расстояние от точки B до плоскости DEK равно 1 единице.