А)почленно сложить: 1.7+6=7.7 0.5-1.7=-1.2 б)почленно умножить: 3.8-5=-1.2 3=0.6+2.4

Ответы

евгения406 05.10.2020 09:07

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 12 Почленное умножение неравенств

Теорема. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.

Доказательство. Пусть а > b и с > d, причем числа а, b, с и d положительны. Докажем, что aс > bd.

Умножив неравенство а > b почленно на положительное число с, получим ас > bc. Умножив затем неравенство с > d почленно на положительное число b, получим bc > bd. Теперь имеем: ас > bc, a bc > bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств (§ 10) должно быть ас > bd.

Аналогично может быть рассмотрен случай, когда a < b и c < d.

Примеры:

Следствие 1. Если а > b, причем числа а и b положительны, то для любого натурального п

аn > bn.

Действительно, умножая почленно неравенство а > b само на себя, получим а2 > b2. Умножая затем почленно полученное неравенство на исходное неравенство а > b, получим а3 > b3 и т. д.

Следствие 2. Если числа а и b положительны и

аn > bn (1)

(п — натуральное число), то а > b.

Действительно, возможен один из трех случаев: а = b, a < b и а > b.
Если а = b, то аn = bn.
При а < b мы имели бы b > а, и потому по следствию 1 bn > аn . И то и другое противоречит неравенству (1).
Остается признать, что а > b.

Пример. Определить, какое число больше: √5 + √6 или √3 + √8 .

Возвысим оба числа в квадрат:

(√5 + √6 )2 = 5 + 2√30 + 6 = 11 + 2√30 ;
(√3 + √8 )2 = 3 + 2√24 + 8 = 11 + 2√24

Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как эти числа положительны, то по следствию 2

√5 + √6 > √3 + √8 :

Упражнения

93. Любые ли два неравенства одинакового смысла можно почленно умножить? (Рассмотрите пример: 3 > — 10 и — 2 > — 7.)

94. а) Всегда ли из а > b вытекает, что аn > bn ? ответ пояснить примерами.

б) Следует ли из аn < bn, что а < b? ответ пояснить примерами.

В задачах № 95—102 сравнить данные числа, то есть выяснить, какое из них больше и какое меньше:

95. √2 + √3 и √7 . 99*. 3√2 + 3√4 и 3√26?

96. √5 + √3 и √6 + √2 100. (1 + √5)100 и 3100.