А/а²-аб - б/а²-б² при а=-1,б =корень из 3

Решение 1

Рассмотрим выражение  a² + ab + b² – 3(a + b – 1) = a² + (b – 3)a + (b² – 3b + 3)  как квадратный трёхчлен относительно a. Его дискриминант равен

– 3(b – 1)²  и, следовательно, неположителен. Так как коэффициент при a² положителен, то трёхчлен принимает только неотрицательные значения, значит,  a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1)  при любых a и b. Равенство достигается тогда и только тогда, когда a = b = 1.

Решение 2

a² + ab + b² – 3(a + b – 1) = (a – 1)² + (b – 1)² + (a – 1)(b – 1),  а, как известно, выражение  x² + xy + y²  всегда неотрицательно.

Решение 3

2(a² + ab + b² – 3(a + b – 1)) = (a – 1)² + (b – 1)² + (a + b – 2)² ≥ 0.

.