А(-2;-3;2), B(-1;-5;4), C(9;-1;12), D(6;1;10)​

Даны вершины тетраэдра:

А(-2;-3;2), B(-1;-5;4), C(9;-1;12), D(6;1;10)​.

1) Координаты векторов:

AB = (-1-(-2); -5-(-3); 4-2) = (1: -2; 2).

Модуль равен √(1+4+4) = √9 = 3.

AC = (9-(-2); -1-(-3); 12-2) = (11: 2; 10).

Модуль равен √(121+4+100) = √225 = 15.

AD = (6-(-2); 1-(-3); 10-2) = (8: 4; 8) .

Модуль равен √(64+16+64) = √144 = 12.

2) Угол между векторами AB(1: -2; 2) и AC(11: 2; 10) (это угол А).

cos A = (1*11+(-2)*2+2*10)/(3*15) = (11-4+20)/(3*15) = 3/5 = 0,6.

Угол A = arc cos 0,6 = 0,927295218 радиан или 53,13010235  градуса.

3) Проекция вектора AD на AB.

Пр b_a =    a · b  

                     |b|

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 8 · 1 + 4 · (-2) + 8 · 2 = 8 - 8 + 16 = 16 .

Найдем модуль вектора:

|b| = √bx2 + by2 + bz2 = √12 + (-2)2 + 22 = √1 + 4 + 4 = √9 = 3 .

Проекция  b_a = 16/3 ≈ 5.33333.

4) Площадь S треугольника АВС.

S = (1/2)[ABxAC].

Находим векторное произведение векторов АВ(1: -2; 2) и АС(11: 2; 10).

 i        j         k|       i         j

 1      -2        2|      1       -2

11       2        10|      11       2  = -20i + 22j + 2k - 10j - 4i + 22k =

                                           = -24i + 12j + 24k = (-24; 12; 24).

Модуль векторного произведения равен √(576 + 144 + 576 ) =√1296  = 36. Площадь равна S = 36/2 = 18 кв.ед.

5) Объём пирамиды V = (1/6)[ABxAC]*AD.

[ABxAC] = (-24; 12; 24), AD = (8: 4; 8).

V = (1/6)*(-24*8 + 12*4 + 24*8) = (1/6)*48 = 8 куб.ед.